bzoj 2005: [Noi2010]能量采集
2017-09-12 21:35
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Description
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。
解题报告:
容易看出\(gcd(i,j)-1\)就是\((i,j)\)会经过的点的个数
所以求出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\)即可算出答案
容斥大家都会:
设\(f[x]\)表示最大公因数为x的数对的个数,\(g[x]\)表示含有x这个因子的数对的个数
那么\(g[x]=(m/i)+(n/i)\)
容斥一波:\(f[x]=g[x]-\sum_{x|d}^ng[d]\),其中d不等于x
那么代码就非常短了
还有一种方法参考上一篇博客
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。
解题报告:
容易看出\(gcd(i,j)-1\)就是\((i,j)\)会经过的点的个数
所以求出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\)即可算出答案
容斥大家都会:
设\(f[x]\)表示最大公因数为x的数对的个数,\(g[x]\)表示含有x这个因子的数对的个数
那么\(g[x]=(m/i)+(n/i)\)
容斥一波:\(f[x]=g[x]-\sum_{x|d}^ng[d]\),其中d不等于x
那么代码就非常短了
还有一种方法参考上一篇博客
#include <algorithm> #include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <cmath> #define RG register #define il inline #define iter iterator #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) using namespace std; typedef long long ll; const int N=100005; ll f ,ans=0; void work() { int n,m; cin>>n>>m; if(n>m)swap(n,m); for(int i=n;i>=1;i--){ f[i]=(ll)(m/i)*(n/i); for(int j=i+i;j<=n;j+=i) f[i]-=f[j]; ans+=((i<<1)-1)*f[i]; } printf("%lld\n",ans); } int main() { work(); return 0; }
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