bzoj 2005: [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

解题报告:

容易看出\(gcd(i,j)-1\)就是\((i,j)\)会经过的点的个数

所以求出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\)即可算出答案

容斥大家都会:

设\(f[x]\)表示最大公因数为x的数对的个数,\(g[x]\)表示含有x这个因子的数对的个数

那么\(g[x]=(m/i)+(n/i)\)

容斥一波:\(f[x]=g[x]-\sum_{x|d}^ng[d]\),其中d不等于x

那么代码就非常短了

还有一种方法参考上一篇博客

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100005;
ll f
,ans=0;
void work()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
if(n>m)swap(n,m);
for(int i=n;i>=1;i--){
f[i]=(ll)(m/i)*(n/i);
for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
f[i]-=f[j];
ans+=((i<<1)-1)*f[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
work();
return 0;
}