01背包问题详解（转载）

算法设计与分析--01背包问题（动态规划法解决）

这个学期开的算法设计与分析课程老师说是研究生才要学的课，但是我们大二就要学！

 虽然有难度，但还是要学滴。
上机课题目有一道0-1背包的问题，上课的时候由于没有听课。。所以只有自己再啃书本了。
代码虽然不长，但是还是。。很有。。技术含量的。
本人文笔不是很好，所以就 不多说啦！直接上菜！


问题描述：
给定N中物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？
在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 
 
问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:
(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 
(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<wi  
       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi
(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)
{
if(a>=b)
return a;
else return b;
}

int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
int i,j;
for(i=0;i<=n;i++)
V[i][0]=0;
for(j=0;j<=C;j++)
V[0][j]=0;
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=C;j++)
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
j=C;
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
if(V[i][j]>V[i-1][j])
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
else
x[i]=0;
}
printf("选中的物品是:\n");
for(i=0;i<n;i++)
printf("%d ",x[i]);
printf("\n");
return V[n-1][C];

}

void main()
{
int s;//获得的最大价值
int w[15];//物品的重量
int v[15];//物品的价值
int x[15];//物品的选取状态
int n,i;
int C;//背包最大容量
n=5;
printf("请输入背包的最大容量:\n");
scanf("%d",&C);

printf("输入物品数:\n");
scanf("%d",&n);
printf("请分别输入物品的重量:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&w[i]);

printf("请分别输入物品的价值:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&v[i]);

s=KnapSack(n,w,v,x,C);

printf("最大物品价值为:\n");
printf("%d\n",s);

}