对二叉树的复习与整理

作为一名大四学生，进来复习数据结构，对二叉树这一部分重新进行了复习与整理，由于第一次写技术博客，不对的地方还望诸君指正。

接下来我们进入主题，那就是基于严蔚敏的数据结构的二叉树的建立，遍历说说自己的理解。

首先我们来看二叉树的定义：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。从定义中我们能够看出二叉树的定义具有递归性，即每一个节点下又是一颗二叉树。因此我们首先来讲解次用递归的形式创建二叉树的ADT，即如下部分：

首先给出二叉树的数据结构，即有一个字符表示的数据域data，和作为二叉树的左孩子和右孩子指针域Btree*:

typedef struct Btree{
char data;
Btree *lchild;
Btree *rchild;
};

接下来给出创建二叉树的抽象数据类型：

Status CreateTree(Btree* *T){
char ch;
scanf("%c",&ch);
if(ch == ' '){
*T = NULL;
}
else{
if(  !(*(T) = (Btree*)malloc(sizeof(Btree))))
{
exit(0);
}
(*T)->data = ch;//先申请空间后分配
CreateTree(&((*T)->lchild));//左子树
CreateTree(&((*T)->rchild));//右子树
}
return OK;
}

这里指的说明的是此处CreateTree中传入的参数是一个二级指针，用于存放每个节点地址。接下来输入数据，在这里规定当输入的字符是空格时该节点制空，即在还节点下没有子树。这里的*T即表示一个节点，这个一级指针用来存储树的数据结构，如果输入的字符不是空，同时允许内存空间分配的前提下，将该节点的数据域赋值，接下来将其左孩子递归，直至其子孙的最左侧的左孩子没有子孙，则递归的去创建该节点的右孩子，依次递归，进而创建整颗树。

接下来就是对二叉树的先序遍历，中序遍历，和后序遍历。既然二叉树的定义具有递归性那么这三种遍历这里依然用到了递归。首先给出先序遍历的ADT:

Status  DLR(Btree *t){
if(t != NULL){
cout<<t->data<<"\t";
DLR(t->lchild);
DLR(t->rchild);
}
return OK;
}

然后是中序遍历：

Status LDR(Btree *t){
if(t != NULL){
DLR(t->lchild);
cout<<t->data<<"\t";
DLR(t->rchild);
}
return OK;
}

最后是后序遍历：

Status LRD(Btree *t){
if(t != NULL){
LRD(t->lchild);
LRD(t->rchild);
cout<<t->data<<"\t";
}
return OK;
}

从代码中不难看出这三种遍历的区别仅仅在于输出位置的不同，先序遍历在于在访问该节点时即将它的指针域进行输出，中序遍历则在其左孩子节点为空时才输出它的数据域，而后序遍历则是在右孩子的节点为空时输出它的数据域。

最后我们再来讲解一下二叉树的层次遍历，首先我们给出层次遍历的代码：

void LevelOrder(Btree *t){
Btree *qu[MaxSize];
int rear = -1;
int front = -1;
rear++;
qu[rear] = t;//树根入队
Btree *p;
while(rear != front){
front = (front+1)%MaxSize;
p = qu[front];//队首出队
cout<<p->data<<"\t";
if(p->lchild != NULL){//左子树不为空
rear = (rear+1)%MaxSize;
qu[rear] = p->lchild;//左孩子入队
}
if(p->rchild != NULL){//右子树不为空
rear = (rear+1)%MaxSize;
qu[rear] = p->rchild;//右孩子入列
}
}

}

正如代码中的注释中阐述的一部分可见二叉树的层次遍历的端倪，我们来简单分析一下过程，首先我们知道层次遍历用到队列，这里我们用数组模拟了循环队列，分别用两个变量记录队列的下标分别为rear和front,表示后向指针和前向指针，指向-1的下标即该队列为空。接下来后向指针指向队列的首元素，将树的跟节点入队。在队列不为空的前提下，依次将队头出队同时将有左孩子或右孩子的的加点进入队列。直至最终访问完每一个节点。

接下来给出全部的源码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
using namespace std;
typedef int Status;
#define OK 1
#define MaxSize 100
typedef struct Btree{ char data; Btree *lchild; Btree *rchild; };
Status CreateTree(Btree* *T){
char ch;
scanf("%c",&ch);
if(ch == ' '){
*T = NULL;
}
else{
if( !(*(T) = (Btree*)malloc(sizeof(Btree))))
{
exit(0);
}
(*T)->data = ch;
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
}
return OK;
}

Status DLR(Btree *t){
if(t != NULL){
cout<<t->data<<"\t";
DLR(t->lchild);
DLR(t->rchild);
}
return OK;
}

Status LDR(Btree *t){ if(t != NULL){ DLR(t->lchild); cout<<t->data<<"\t"; DLR(t->rchild); } return OK; }

Status LRD(Btree *t){ if(t != NULL){ LRD(t->lchild); LRD(t->rchild); cout<<t->data<<"\t"; } return OK; }

void LevelOrder(Btree *t){
Btree *qu[MaxSize];
int rear = -1;
int front = -1;
rear++;
qu[rear] = t;//将这颗树的根节点交给数组的首个元素
Btree *p;
while(rear != front){
front = (front+1)%MaxSize;
p = qu[front];
cout<<p->data<<"\t";
if(p->lchild != NULL){
rear = (rear+1)%MaxSize;
qu[rear] = p->lchild;
}
if(p->rchild != NULL){
rear = (rear+1)%MaxSize;
qu[rear] = p->rchild;
}
}
}

int main(){
Btree *T = (Btree*)malloc(sizeof(Btree));
CreateTree(&T);
cout<<"先序遍历："<<endl;
DLR(T);
cout<<endl;
cout<<"中序遍历："<<endl;
LDR(T);
cout<<endl;
cout<<"后序遍历："<<endl;
LRD(T);
cout<<endl;
cout<<"层次遍历: "<<endl;
LevelOrder(T);
return 0;
}

测试用例树：

样例输入：

A B C   D E  G   F   

运行结果：