【BZOJ1296】粉刷匠（SCOI2009）-区间DP+资源分配型DP

测试地址：粉刷匠

做法：本题需要用到动态规划。

注意到，粉刷不能多于T次，就等同于将这些粉刷次数分配到每一条木板上，使得涂对的格子数最大，那么很容易写出状态转移方程：

f(i,j)表示前i条木板使用j次粉刷次数的情况下，能涂对的最大的格子数，g(i,j,k)表示第i条木板上用j次粉刷次数涂前k个格子，能涂对的最大的格子数，那么状态转移方程为：

f(i,j)=max{f(i−1,j−k)+g(i,k,m)|0≤k≤j}

那么g(i,k,m)要怎么求呢？因为每个格子最多被涂一次，所以可以看出，对于每条木板，可以做一个区间DP来求出g(i,j,k)的值，状态转移方程如下：

g(i,j,k)=max{g(i,j−1,l)+max([l,k]中的红色块数,[l,k]中的蓝色块数)|j−1≤l≤k−1}

如果暴力计算一个区间中某种颜色的块数，那么这个方程是O(nm4)的，未免太大。注意到颜色只有两种，所以我们只需用前缀和预处理出[1,k]内的红色块数，然后我们就可以随时O(1)得到一个区间内红色的块数和蓝色的块数，那么方程优化到O(nm3)，再加上O(nmT)的求f，就可以通过此题了。最后的答案是max{f(n,i)}。

以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,t;
int sum[55][55],f[55][2510]={0},g[55][2510][55]={0};
char s[110];

int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s);
sum[i][0]=0;
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if (s[j-1]=='1') sum[i][j]=sum[i][j-1]+1;
else sum[i][j]=sum[i][j-1];
}
}

for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int k=1;k<=m;k++)
for(int l=j-1;l<k;l++)
g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[i][j-1][l]+max(sum[i][k]-sum[i][l],k-l-sum[i][k]+sum[i][l]));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=t;j++)
for(int k=0;k<=min(j,m);k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k]+g[i][k][m]);
int ans=0;
for(int i=1;i<=t;i++) ans=max(ans,f
[i]);
printf("%d",ans);

return 0;
}