[BZOJ2750][HAOI2012]Road(SPFA+拓扑排序)
2017-09-09 13:52
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首先介绍一个原则:i→j的最短路径的任意一条子路径u→v都是最短路径。
证明:假设存在一条子路径u→v不是最短路径,那么一定能够找到一条更短的u→v的路径使i→j的路径更短。
根据这个原则,可以得出,在固定源点S时,存在G的一个子图G′,使得G′的每一条边都在S到其他至少一个点的最短路径上,且G′以外的边不在S到任意一个点的最短路径上。这里把G′称为源点为S时G的最短路图。判断一条边u→v是否在最短路图中,只需判断是否dis[u]+val(u→v)==dis[v]。其中val(u→v)为边u→v的长度。
再介绍一个原则:对于任意边权为正数的图G和任意源点S,最短路图G′上不存在环。
证明:设存在环u1→u2→...→ut→u1,则有dis[u2]=dis[u1]+val(u1→u2),dis[u3]=dis[u2]+val(u2→u3),…,dis[ut]=dis[ut−1]+val(ut−1→ut),dis[u1]=dis[ut]+val(ut→u1)。由于边权均为正数,所以从上面可以同时得出dis[ut]>dis[u1]和dis[ut]<dis[u1]。从这个矛盾得出不存在环。
回到问题。首先枚举最短路的起点S,跑SPFA后构造出最短路图。
由于不存在环,所以这里进行拓扑排序。
先按照拓扑序,求出任意一个点u,S到u的最短路径的数目cnt1[u]。很显然,cnt1[S]=1,如果最短路图上存在边u→v,则cnt1[v]+=cnt1[u]。
再按照拓扑序的逆序,求出任意一个点u,在最短路图上以u为起点的路径条数cnt2[u]。容易得到,如果先把每个点的cnt2设为1(路径中只包含u),那么如果最短路图上存在边u→v,则cnt2[u]+=cnt2[v]。
统计贡献。对于在最短路图上的一条边u→v,贡献为cnt1[u]∗cnt2[v]。
代码:
证明:假设存在一条子路径u→v不是最短路径,那么一定能够找到一条更短的u→v的路径使i→j的路径更短。
根据这个原则,可以得出,在固定源点S时,存在G的一个子图G′,使得G′的每一条边都在S到其他至少一个点的最短路径上,且G′以外的边不在S到任意一个点的最短路径上。这里把G′称为源点为S时G的最短路图。判断一条边u→v是否在最短路图中,只需判断是否dis[u]+val(u→v)==dis[v]。其中val(u→v)为边u→v的长度。
再介绍一个原则:对于任意边权为正数的图G和任意源点S,最短路图G′上不存在环。
证明:设存在环u1→u2→...→ut→u1,则有dis[u2]=dis[u1]+val(u1→u2),dis[u3]=dis[u2]+val(u2→u3),…,dis[ut]=dis[ut−1]+val(ut−1→ut),dis[u1]=dis[ut]+val(ut→u1)。由于边权均为正数,所以从上面可以同时得出dis[ut]>dis[u1]和dis[ut]<dis[u1]。从这个矛盾得出不存在环。
回到问题。首先枚举最短路的起点S,跑SPFA后构造出最短路图。
由于不存在环,所以这里进行拓扑排序。
先按照拓扑序,求出任意一个点u,S到u的最短路径的数目cnt1[u]。很显然,cnt1[S]=1,如果最短路图上存在边u→v,则cnt1[v]+=cnt1[u]。
再按照拓扑序的逆序,求出任意一个点u,在最短路图上以u为起点的路径条数cnt2[u]。容易得到,如果先把每个点的cnt2设为1(路径中只包含u),那么如果最短路图上存在边u→v,则cnt2[u]+=cnt2[v]。
统计贡献。对于在最短路图上的一条边u→v,贡献为cnt1[u]∗cnt2[v]。
代码:
#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; inline int read() { int res = 0; bool bo = 0; char c; while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-'); if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48; while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48); return bo ? ~res + 1 : res; } const int N = 1505, M = 5005, INF = 0x3f3f3f3f, PYZ = 1e9 + 7; int n, m, ecnt, nxt[M], adj , st[M], go[M], val[M], dis[M], len, que[M << 1], cnt , cnt1 , cnt2 , H, T, tot, q , ans[M]; bool vis , ins[M]; void add_edge(int u, int v, int w) { nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; st[ecnt] = u; go[ecnt] = v; val[ecnt] = w; } void spfa(int S) { int i; memset(dis, INF, sizeof(dis)); memset(ins, 0, sizeof(ins)); dis[que[len = 1] = S] = 0; for (i = 1; i <= len; i++) { int u = que[i]; vis[u] = 0; for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) if (dis[u] + val[e] < dis[v = go[e]]) { dis[v] = dis[u] + val[e]; if (!vis[v]) vis[que[++len] = v] = 1; } } for (i = 1; i <= m; i++) if (dis[st[i]] + val[i] == dis[go[i]]) ins[i] = 1; } void topo(int S) { memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); memset(cnt1, 0, sizeof(cnt1)); memset(cnt2, 0, sizeof(cnt2)); int i; H = tot = 0; cnt1[que[T = 1] = S] = 1; for (i = 1; i <= m; i++) if (ins[i]) cnt[go[i]]++; while (H < T) { int u = que[++H]; q[++tot] = u; for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) { if (!ins[e]) continue; v = go[e]; if (!(--cnt[v])) que[++T] = v; (cnt1[v] += cnt1[u]) %= PYZ; } } for (i = tot; i; i--) { int u = q[i]; cnt2[u]++; for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) { if (!ins[e]) continue; (cnt2[u] += cnt2[v = go[e]]) %= PYZ; } } } void solve(int S) { int i; spfa(S); topo(S); for (i = 1; i <= m; i++) if (ins[i]) (ans[i] += 1ll * cnt1[st[i]] * cnt2[go[i]] % PYZ) %= PYZ; } int main() { int i, x, y, z; n = read(); m = read(); for (i = 1; i <= m; i++) x = read(), y = read(), z = read(), add_edge(x, y, z); for (i = 1; i <= n; i++) solve(i); for (i = 1; i <= m; i++) printf("%d\n", ans[i]); return 0; }
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