抽象代数学习笔记（10） 群的同构

历史上，不同的文明发明了他们自己的计数方法。比如 {一,二,三...},{one,two,three...} 等等。但是在数学上，我们认为这些计数方法本质是一样的，只是符号不同。或者说这些计数方法之间可以通过某种方式对应起来，当我们说计数方法A的一个符号a，就可以对应到计数方法B的一个符号b 。于是，就有了同构的概念。

设 (G,+) 是个群，(H,#) 也是个群，如果 f:G−>H 是个双射，且对任意 a,b∈G ，恒有

f(a+b)=f(a)#f(b)

则说 f 是 G 到 H 的同构映射，如果有 G 到 H 的同构映射，就说 (G,+),(H,#) 同构。有时简单地说 G 和 H 同构，或 G 同构于 H 。

举个简单的例子：全体整数在加法下构成的群 G 与全体偶数在加法下构成的群 H 同构。显然， f(x)=2x 。

同构有一些重要的性质在以后会经常遇到，另外，有一些典型的同构映射将会是解决问题的利器。

f(eG)=eH

f(a−1)=f(a)−1

任意 n 阶循环群同构于 (In,+)

任意无限循环群同构于整数加法群 (I,+)

(G,+),(H,#) 同构，若 G 是循环群，那么 H 也是循环群。

设 A 是有 n 个元素集合， G 是 A 上所有可逆映射在映射合成下构成的群，则 G 同构于 Sn 。

从上面的性质可以看出，研究一些形式比较复杂的群，完全可以用一个与之同构的，形式简单的群代替，这也是为什么会在之前学习循环群等代数结构的原因。当然，我们接触的群的例子比较少，深入代数领域后，还会学习不少具有代表性的群。