[概率论与数理统计]随机事件及其概率运算

古典概型

事件间的关系与事件的运算
事件间的关系包含相等互不相容对立

事件运算和积差交换律结合律分配律对偶律
事件和

事件积

事件差

概率计算公式

两个著名的例子
布丰投针实验求圆周率蒙特卡罗算法

贝特朗奇论

古典概型

也称为等可能概型，如果每个基本情况都等可能出现，此时某一事件的概率为：P(A)=事件A包含的基本事件数全部可能的基本事件数或P(A)=事件A所占区域大小样本空间所占区域大小

事件间的关系与事件的运算

事件间的关系(包含、相等、互不相容、对立)

(1)包含关系：若事件A，B满足A⊂B，则称事件B包含事件A，用示性函数表示为IA(ω)≤IB(ω)

(2)相等关系：若事件A，B满足A⊂B，且B⊂A则称事件A与事件B相等(或等价)，为同一事件，用示性函数表示为IA(ω)=IB(ω)

(3)互斥关系(互不相容关系)：若事件A，B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，此时AB=Φ。用示性函数表示为IA(ω)IB(ω)=0

(4)对立关系，两个事件A、B中，"A不发生"，则A、B称为具有对立关系(或互逆关系)，又称为B为A的对立事件，记为B=A¯。用示性函数表示为IA(ω)+IB(ω)=1

事件运算(和、积、差、交换律、结合律、分配律、对偶律)

事件和

A+B或者A∪B={x|x∈A或x∈B}

事件积

A∩B={x|x∈A且x∈B}

事件差

A−B={x|x∈A且x∉B}=AB¯

概率计算公式

P(Φ)=0，P(Ω)=1，P(A¯)=1−P(A)，P(A−B)=P(A)−P(AB)，P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)

两个著名的例子

布丰投针实验求圆周率（蒙特卡罗算法）

1） 取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2） 取一根长度为l（l≤a） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。

3）计算针与直线相交的概率．

概率为：P=2lΠa

贝特朗奇论

在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。该问题如图，有三种解决方法。

1．如图1第一幅图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候弦长度等于三角形的边长度，当点离圆心的距离小于12r时弦长度大于三角形边长。所以概率P=12

2．如图b，通过三角形任意一个顶点做圆的切线，因为等边三角形内角为60°，所以左边右边的角都是60°。由该顶点做一条弦，弦的另一端在圆上任意一点。由图可知弦与切线成60°角和120°角之间的时候弦长度大于三角形边长。所以概率P=13

3．如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是Πr2，小圆的面积是Π(r2)2。所以概率P=14