垒骰子（经典递推、矩阵快速幂）

problem

赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。

经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！ 我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。

假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。 atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。

两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。 由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

不要小看了 atm 的骰子数量哦～

「输入格式」

第一行两个整数 n m n表示骰子数目

接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。

「输出格式」

一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

「样例输入」

2 1

1 2

「样例输出」

544

「数据范围」

对于 30% 的数据：n <= 5 对于 60% 的数据：n <= 100

对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

思路

重点是利用相对的面构造转移矩阵， 1个数字向下的状态有 4种。

分别存储1朝上，2朝上…6朝上时的种数

递推关系和相邻限制有关，根据限制构造转移矩阵

具体见代码

代码示例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int mod=1e9+7;

const int maxn=7;

struct matrix{
ll a[maxn][maxn];
};

int Hash[7];

matrix unit()
{
matrix m;
for(int i=0;i<maxn;++i){
for(int j=0;j<maxn;++j){
if(i==j) m.a[i][j]=1;
else m.a[i][j]=0;
}
}
return m;
}

matrix matrix_mul(matrix A,matrix B)
{
matrix c;
for(int i=0;i<maxn;++i){
for(int j=0;j<maxn;++j){
c.a[i][j]=0;
for(int k=0;k<maxn;++k){
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(A.a[i][k]*B.a[k][j])%mod)%mod;
}
}
}
return c;
}

matrix matrix_pow(matrix A,int b)
{
matrix res=unit();
while(b)
{
if(b&1) res=matrix_mul(res,A);
A=matrix_mul(A,A);
b>>=1;
}
return res;
}

int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
ll n,m;
cin>>n>>m;
matrix ans,chu,fu;
//初值
memset(chu.a,0,sizeof(chu.a));
for(int i=1;i<maxn;++i) chu.a[i][1]=4;

//辅助
memset(fu.a,0,sizeof(fu.a));
for(int i=1;i<maxn;++i){
for(int j=1;j<maxn;++j){
fu.a[i][j]=4;
}
}

Hash[1]=4;
Hash[2]=5;
Hash[3]=6;
Hash[4]=1;
Hash[5]=2;
Hash[6]=3;

int a,b;
for(int i=0;i<m;++i){
cin>>a>>b;
fu.a[Hash[a]][b]=0;
fu.a[Hash[b]][a]=0;
}
ans=matrix_mul(matrix_pow(fu,n-1),chu);
ll xiang=0;
for(int i=1;i<maxn;++i){
xiang=(xiang+ans.a[i][1])%mod;
}
cout<<xiang<<endl;
return 0;
}