最长公共子序列LCS简介

算法简介

一个数列 ，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则称为已知序列的最长公共子序列。

算法思想

貌似不难吧。。。动动脑筋。

运用DP的思想，对于当前枚举到的两个数a[i],b[j]，如果a[i]==b[j]，那么f[i][j]=f[i-1][j-1]+1，否则就取f[i-1][j]和f[i][j-1]的最大值。

可以写出状态转移方程式：

if (a[i]==b[j])
f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
else
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);

划水

模板

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 1000
using namespace std;
char s1[MAXN+5],s2[MAXN+5];
int f[MAXN+5][MAXN+5];
int main(){
scanf("%s%s",s1,s2);
int n1=strlen(s1),n2=strlen(s2);
memset(f,0,sizeof(f));
for (int i=1;i<=n1;i++)
for (int j=1;j<=n2;j++)
if (s1[i-1]==s2[j-1])
f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
else
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
printf("%d\n",f[n1][n2]);
return 0;
}

算法拓展

某些题目可能要求你求出LCS。 此时我们可以把它往回倒推，比如像这样：

int x=n,y=m,node=f[n][m];
while (x>0&&y>0){
if (s1[x-1]==s2[y-1]){//如果这两个相等
x--; y--; s[node-1]=s1[x]; node--;//往回退
}
else//不相等就不取并调整
if (f[x-1][y]>f[x][y-1]) x--;
else y--;
}

还有些可能有三个数列，这时加一维即可。

for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
for (int k=1;k<=l;k++)
if (s1[i-1]==s2[j-1]&&s2[j-1]==s3[k-1])
f[i][j][k]=f[i-1][j-1][k-1]+1;
else
f[i][j][k]=max(max(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k]),f[i][j][k-1]);

求LCS也一样：

int x=n,y=m,z=l,node=f[n][m][l];
while (x>0&&y>0&&z>0)
if (s1[x-1]==s2[y-1]&&s2[y-1]==s3[z-1]){
x--; y--; z--; node--; s[node]=s1[x];
}
else{
if (f[x][y][z]==f[x-1][y][z]) x--;
if (f[x][y][z]==f[x][y-1][z]) y--;
if (f[x][y][z]==f[x][y][z-1]) z--;
}