线性代数的本质(Essense Of Linear Algebra)[2]

矩阵与线性变换

线性代数有一个主题，不仅让线性代数其他部分内容一目了然，又经常被初次学习线性代数的人所忽视——线性变换以及它和矩阵的关系。

Linear Transformation

线性变换的本质是一种函数，它输入内容，并输出对应结果。在线性代数中，输入一个向量，输出另一个向量。

用变换而不用函数，会给人运动的概念。

线性变换可以当做对空间的挤压伸展，它保持网格线平行且等距分布，并且原点保持不变。线性变换由它对空间的基向量的作用完全决定。

在二维空间中，只要记录了i-hat和j-hat的变化，就可以得到其他所有向量在变化之后的位置。因为任何一个向量都可以由i和j两个基向量通过线性组合得到，并且变换是线性的。



对于上图所示的矩阵和向量相乘，我们可以把矩阵的列当做变换后的基向量，那么矩阵向量乘法就可以看做将线性变换作用于那个向量。给出如下的例子，i和j向量先经过变换，再经过伸缩变换和相加，黄色的向量就是[−12]经过线性变换后的向量。



因此，每当我们看到一个矩阵的时候，都可以把它当做对空间的一种变换。之后的矩阵乘法、行列式、基变换、特征值等都建立在这个理解的基础之上。

矩阵乘法与线性变换复合

知道矩阵可以代表某种特定的变换之后，那么矩阵相乘可以代表先后进行多种变换，相乘的结果就是复合变换，如下图所示。左边的式子代表先逆时针旋转90度，再进行剪切变换。



我们学线性代数的时候可能会遇到这个问题，证明矩阵乘法的结合律。如下图所示。但是如果从几何的角度去看，矩阵A、B、C都代表对空间的某种变换。那么不管括号在哪，都是按照从右到左执行线性变换的，那么两个式子很明显是相等的，根本不需要去证明！(注意AB!=BA，即如果变换的先后顺序不一样，最终结果可能是不一样的)

行列式

线性变换改变面积的比例叫做矩阵的行列式，并且对于空间中任何图形都是一样的。

单位正方形i-hat和j-hat面积变化的比例 等于矩阵的行列式。行列式表述的是线性变换的影响。

行列式为0，其实就将空间压缩到更小的维度，此时区域的面积变成了0， 变化的比例为0。如下图所示，通过线性变换，一个二维的平面变换到了一条线上。



对于3*3的矩阵，行列式的值就是单位正方体体积变化的比例，也可以看做三个基向量所张成的平行六面体的体积。

如果行列式为0那么通过线性变换就可能使原来的线性空间的维度降低。

如果行列式为负值，那么空间的定向发生改变。

​ det(M1M2)=det(M1)det(M2)

有了上述几何意义之后，要证明上述等式的话，就可以从几何的角度来证明了。左边的等式代表先进行M2矩阵代表的线性变换再执行M1所代表的线性变换之后，面积或者体积所变化的比例，右边的式子是两个线性变换使面积或体积变化的比例的乘积。因为两边线性变换之后的结果是一样的，所以比例肯定也是一样的，得证。

逆矩阵、列空间与零空间

在这节同样要用线性变换的角度来看逆矩阵、列空间、和零空间。

在线性方程组Ax⃗ =y⃗ 中，几何意义上可以理解为x⃗ 向量通过线性变换变成了y⃗ ，已知y⃗ 求x⃗ 。

如果行列式不为0，可以通过对y⃗ 做逆变换来得到x⃗ ，并且有唯一解，逆变换对应了 另一个线性变换。

如果为0，矩阵A所代表的变换将空间压缩到了更低的维度上，此时没有逆变换，直观的理解就是高维的空间包含更多的信息，压缩成低纬后那些信息都已经丢失了，不可能恢复那些丢失的信息。就要看y⃗ 是否在变换后的空间内，如果不在，就无解，如果在就有无数解。

矩阵的秩就代表着变换后空间的维度。确切的说是列空间的维度，相对于行列式的值而言可以更精确的衡量矩阵所带代表的信息。

矩阵的列告诉了我们变换后基向量的位置，列空间就是矩阵的列向量张成的空间。

变换后落在原点的向量的集合，成为矩阵的零空间或者核。对于满秩矩阵，只有零向量变换后才会落在零向量。对于非满秩的矩阵来说，它将空间压缩到了更低的维度上，也就是说会有一系列的向量在变换后成为零向量。所以如果Ax⃗ =y⃗ 中y⃗ 是零向量，y⃗ 是非零向量，那么可以判断这个矩阵是非满秩的，如果是方阵的话，那么行列式为0。

对于non-square的矩阵变换就是从某种维度转换为另一种维度的坐标。