HDU - 6189 Law of Commutation(找规律+推公式 17广西邀请赛题)

题意：给定n,a，其中令2^n=m，现求区间[1,m]内有多少个b满足，a^b%m=b^a%m。

首先打表的话可以很容易找到一个规律：a为奇数时，答案肯定为1，这个规律很容易看出就不证了(其实我也不会证 T_T)，详细解释一下a为偶数时怎么算，m一定为偶数，所以a^b%m的结果也为偶数，那么b^a%m的结果也必须为偶数，所以b必须为偶数，a既然为偶数那么一定可以写成2*x，所以a^b=2^b*x^b，又m=2^n显然可以发现如果b>=n那么a^b%m一定为0，这个时候就可以分类讨论，由于题目数据中n非常小，所以b<n时直接暴力求解，那么b>=n时这个已经确定a^b%m=0所以我们需要b^a%m同样为0，b为偶数，那么b一定可以表示为2^x*y，那么b^a=2^ax*y^a，我们先令y取得最小1，b^a=2^ax，b^a(2^ax)%m(2^n)=0，所以ax>=n，x>=n/a(注意这里n/a应该向上取整)，所以我们就这样找到最小满足条件的x，然后在求出m以内2^x的倍数即可(注意把n以内的答案减去，因为n以内的答案暴力时求过一遍)。还有这题迷之爆int。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<string>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXM=100010;
const long long MOD=1000000007;
const double PI=acos(-1);

long long n,a;

long long qpow(long long x,long long y,long long mod)
{
long long res=1;
while(y)
{
if (y&1) res=(res*x)%mod;
x=(x*x)%mod;
y=y>>1;
}
return res;
}
long long qpow(long long x,long long y)
{
long long res=1;
while(y)
{
if (y&1) res=res*x;
x=x*x;
y=y>>1;
}
return res;
}
int main()
{
while(scanf("%lld%lld",&n,&a)!=EOF)
{
if (a&1)
{
printf("1\n");
continue;
}
else
{
long long m=1<<n;
long long ans=0;
for (long long i=1;i<=n;i++)
if (qpow(a,i,m)==qpow(i,a,m))
ans++;
long long b2=n/a;
if (b2*a<n) b2=b2+1;
long long b3=qpow(2,b2);
//int b4=qpow(2,a);
long long res=m/b3-n/b3;
ans=ans+res;
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}