数据挖掘 - 低秩矩阵恢复与非负矩阵分解

1. 低秩矩阵恢复

低秩矩阵恢复主要应用于推荐算法，对矩阵中的未评分位置进行评分。具体原理推导见这里吧：http://download.csdn.net/download/zk_j1994/9983147

代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
基于矩阵分解的推荐算法

1. 使用梯度下降进行迭代更新;

"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(1)

def load_data():
data = [[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],
[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],
[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]
return np.array(data)

def gradAscent(data, K, max_iter, alpha, beta):
""" 梯度下降更新P, Q矩阵的元素, 使均方误差最小 """
if not isinstance(data, np.matrix):
data = np.mat(data)

# 初始化P, Q矩阵
n, m = data.shape
P = np.mat(np.random.random((n, K)))
Q = np.mat(np.random.random((K, m)))
print("\nP = \n{0}".format(P))
print("\nQ = \n{0}".format(Q))

loss_list = []
_iter = 0
while _iter < max_iter:
# 更新P, Q中的每一个元素
for i in range(n):
for j in range(m):
if data[i, j] > 0:
error = (data[i, j] - P[i, :] * Q[:, j])[0, 0]     # (i, j)处的误差
for k in range(K):
P[i, k] = P[i, k] + alpha * (2 * error * Q[k, j] - beta * P[i, k])
Q[k, j] = Q[k, j] + alpha * (2 * error * P[i, k] - beta * Q[k, j])

# 计算原矩阵和恢复矩阵之间的误差
loss = 0
for i in range(n):
for j in range(m):
if data[i, j]> 0:
for k in range(K):
loss += P[i, k] * Q[k, j]
loss = np.sum(abs(data[i, j] - loss))

loss_list.append(loss)
if loss <= 1e-3:
break
_iter += 1
return P, Q, loss_list

def draw_loss(loss):
plt.plot(range(len(loss)), loss)
plt.show()

if __name__ == "__main__":
data = load_data()

P, Q, loss = gradAscent(data, 5, 20000, 0.0002, 0.02)

print("\n恢复矩阵 = \n{0}".format(P * Q))
draw_loss(loss)

loss下降过程：



2. 非负矩阵分解
非负矩阵分解与低秩矩阵恢复类似，他们的三个矩阵的元素都要求非负。不同的是低秩矩阵恢复是预测原矩阵中为0的位置；而非负矩阵分解认为原矩阵是完整的。假设原矩阵R（n * m） = M（n*k） x N（k*m）；非负矩阵的应用主要有：
2.1 文本挖掘
假设文本矩阵为n * m，即n篇文章，m个单词，其中的元素为单词出现的次数。将矩阵分解之后，k即为特征的个数或者说主题的个数。在M中我们容易得出每篇文章最重要的几个主题；而在N中我们容易得出每个主题最重要的一些单词。
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
非负矩阵分解用于 - 主题模型

使用了一种很奇特的算法: 乘法更新法则恢复原矩阵

"""
import numpy as np

np.random.seed(1)

def _cal_diff(matrix, recover):
"""
计算重构矩阵与原矩阵之间的误差
recover:
重构矩阵
"""
return abs(matrix - recover).sum()

def factorize(m, fea_num = 6, _iter = 2000):
"""
对矩阵进行分解, 重构
m:
一行代表一篇文章, 一列代表一个单词;
fea_num:
为当前matrix寻找feature的个数;

该算法的核心 - 四个矩阵
hn = w' * m
hd = w' * w * feature
"""
if not isinstance(m, np.matrix):
m = np.matrix(m)
print("请确保输入m是一个行为文章, 列为单词的矩阵.")

# 1. 随机初始化权重矩阵和特征矩阵
weight = np.matrix(np.random.random((m.shape[0], fea_num)))
feature = np.matrix(np.random.random((fea_num, m.shape[1])))

# 2. 循环更新矩阵
for i in range(_iter):
# 2.1 计算重构矩阵和原矩阵的误差
lose = _cal_diff(m, weight * feature)
if i % 10 == 0: print("\n原矩阵与重构矩阵之间的lose = {0}".format(lose))
if lose <= 1e-3: return weight, feature

# 2.2 更新特征矩阵
hn = weight.T * m; hd = weight.T * weight * feature
feature = np.matrix(np.array(feature) * np.array(hn) / np.array(hd))

# 2.3 更新权重矩阵
wn = m * feature.T; wd = weight * feature * feature.T
weight = np.matrix(np.array(weight) * np.array(wn) / np.array(wd))
return weight, feature

if __name__ == "__main__":

# 1. 文本寻找主题
data = [[0, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 3, 0, 5],
[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2]]

weight, feature = factorize(data, 3)

recover = np.mat(weight) * np.mat(feature)

"""
对第0篇文章进行分析:

第0篇文章在7个特征(主题)上的权重weight[0,:] = [0.009, 2.817, 0.589, 0, 0, 0, 0]
我们又容易从feature矩阵中获取每个特征中, 每个单词的重要性。
因此我们可以为第0篇文章选出2个最大的特征, 每个特征我们取3个最重要的单词:
2.817: [第10个单词, 第5个单词, 第8个单词]
0.589: [第4个单词, 第9个单词, 第5个单词]

这两个特征极有可能代表两个不同的主题, 但这篇文章主要和2.817那个特征(主题相关)
"""

# 2. 数据降维
data = [[5, 5, 3, 0, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 4, 1, 3, 4, 5],
[5, 0, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 1, 2, 4, 4, 3, 4, 0],
[0, 3, 0, 5, 4, 5, 0, 4, 4, 5, 3, 0, 0, 0, 0],
[5, 4, 3, 3, 5, 5, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 0, 2, 4],
[5, 4, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 3, 4, 5, 0, 5, 2, 4],
[5, 4, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 2, 5],
[5, 4, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0],
[5, 4, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
[5, 4, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2],
[5, 4, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]]

# 2.1 sklearn数据压缩
from sklearn.decomposition import NMF
Model = NMF(n_components=2)
W = Model.fit_transform(data)

"""
NMF用于数据降维

weight就是降维结果, 其次NMF还可以用于图像无损压缩等等, 节约存储空间;

"""

# 3. 总结
# 其实文本寻找主题也是一个降维的过程, 将一个含有数千个单词的文章进行维度约简, 留下少量单词代表文章主题

3. 注意
显然K越大，则P，Q矩阵更为复杂，能够更好地拟合原矩阵，但也容易导致过拟合；而K越小，则P,Q更简单，模型更精简。
同时，对于非负矩阵分解而言，k的大小决定了所有文章能生成多少个主题，一般根据经验决定，或者尝试调节k的大小。

参考文献
http://m.blog.csdn.net/winone361/article/details/50705739 https://wenku.baidu.com/view/7bbaf0739b6648d7c1c74687#28 http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/51124556