HDU - 4335 What is N? 欧拉函数

题目：给定b,p,m，问 0 <= n <= m 中有多少个数满足 n^(n!) ≡ b (MOD p)

( 0<=b<p, 1<=p<=10^5, 1 <= m <=2^64 – 1 )

思路：要用到降幂公式，

a^n % p = a^(n % phi(p) + phi(p))  %p  其中n>= phi(p)

phi(p)为欧拉函数

本题分成三部分

第一部分  n! < phi(p)  这时直接计算n! ，phi(p)不会很大。

第二部分 n! >= phi(p) 但是 n! % phi(p) != 0   ，暴力计算，不会出现非常大的数

第三部分n! >= phi(p) 并且n! % phi(p) == 0  这一部分就转化为了  n^phi(p) % c    然后就变成了(n % p) ^ phi(p) % p   那么就成了一个长度为p的循环节了

代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<numeric>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define PP puts("*********************");
template<class T> T f_abs(T a){ return a > 0 ? a : -a; }
template<class T> T gcd(T a, T b){ return b ? gcd(b, a%b) : a; }
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
// 0x3f3f3f3f3f3f3f3f

const int maxn=1e5+50;
ULL arr[maxn];
ULL eular(ULL n){
ULL res=n;
for(ULL i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0){
res=res-res/i;
while(n%i==0){
n/=i;
}
}
if(n>1)
res=res-res/n;
return res;
}
ULL pow_mod(ULL a,ULL b,ULL MOD){
ULL res=1%MOD;
while(b){
if(b&1) res=res*a%MOD;
a=a*a%MOD;
b/=2;
}
return res;
}
int main(){

int T,cas=0;
ULL b,p,m;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%llu%llu%llu",&b,&p,&m);
printf("Case #%d: ",++cas);
if(p==1){
if(m==18446744073709551615ULL)
printf("18446744073709551616\n");
else
printf("%llu\n",m+1);
continue;
}
ULL phi=eular(p);
ULL ans=0,fac=1,i;
for(i=0;i<=m&&fac<=phi;i++){
if(pow_mod(i,fac,p)==b)
ans++;
fac=fac*(i+1);
}
if(fac!=0){
fac%=phi;
for(;i<=m&&fac;i++){
if(pow_mod(i,fac+phi,p)==b)
ans++;
fac=fac*(i+1)%phi;
}
}
if(i<=m){
ULL cnt=0;
for(ULL j=0;j<p;j++){
arr[j]=pow_mod(i+j,phi,p);
if(arr[j]==b)
cnt++;
}
ULL num=(m-i+1)/p;
ans+=num*cnt;
ULL rem=(m-i+1)%p;
for(ULL j=0;j<rem;j++)
if(arr[j]==b)
ans++;
}
printf("%llu\n",ans);
}
return 0;
}