关系代数 (关系模型)

理解关系数据库（关系模型），需要了解关系代数（关系模型）。

 

关系代数有如下演算。

◆４つの集合演算

和集合演算（Union）

差集合演算（Difference）

共通集合演算（Intersection）

直積演算（Cartesian　Product）

◆４つの関係演算

射影演算（Projection）

選択演算（Selection）

結合演算（Join）

商演算（Division）

 

【和集合演算（Union）】

和（union）演算 R ∪ S は、R と S を、R の全ての組（タプル、行）と S の全ての組で構成される一つの関係を返す。 この演算では、R と S が型適合であることが前提となる。 重複する組は除去される。



【差集合演算（Difference）】

差（difference）演算 R − S は、R から、S に属する組を取り除いた関係を返す。 この演算では、R と S が型適合であることが前提となる。



【共通集合演算（Intersection）】

交わり（交差、共通、積、intersection）演算 R ∩ S は、R と S の両方に属する組から関係を返す。 この演算では、R と S が型適合であることが前提となる。 交わり演算と等価な演算を、差演算を使って表現することができる。

R ∩ S = R − (R − S)



【直積演算（Cartesian　Product）】

直積（積、デカルト積、cartesian product）演算 R × S は、R と S の組の全ての組み合わせの関係（デカルト積）を返す。 言い換えると、R がもつ全ての組が、S のもつ全ての組と、組み合わせられる。 直積演算では、R と S が型適合である必要は無い。 直積演算 R × S の組の数は、R の組の数と S の組の数を、掛け算した数になる。 直積演算 R × S の属性の数は、R の属性の数と S の属性の数を、足し算した数になる。



【射影演算（Projection）】

射影（projection）演算は、ある関係から属性を限定した関係を返す。 射影演算は、Rを構成する属性集合から、いくつかの属性を抽出する。 βを抽出する属性の集合とすると、射影は、πβ(R) もしくは R[β] と記述することができる。



【選択演算（Selection）】

制限（restriction）は、選択（selection）ともいい、ある関係から、指定した条件に合う組の集合を関係として返す。（ Ø：＝、≠、<、≦、≧、>）



【結合演算（Join）】

結合 (join) は、2つの関係から1つの関係を返す演算であり、直積演算と制限演算を組み合わせた演算に相当する。 一般に、結合を直積演算と制限演算の組み合わせと考えると、この制限演算の制限条件は、A θ B の普通の属性比較が真となるという条件である（θは行おうとする結合演算に応じた比較演算子）。 θ比較の比較演算子は、<、≤、=、>、≥、<> である。 この一般化された結合演算の概念は、θ結合（シータ結合）とも呼ばれる。 一般化された結合演算であるθ結合を具象化した演算として、この節で述べる等結合、自然結合、準結合（半結合）などがある。
この他に外結合（外部結合）も考案されているが、外結合の妥当性については議論の対象となっており、後の節で説明する。  （ Ø：＝、≠、<、≦、≧、>）



【商演算（Division）】

商（division）演算 R ÷ S は、直積演算とは対称となる逆の演算と考えることができる。 関係Rと関係Sがあり、 β {\displaystyle \beta }


を R の属性集合、 γ {\displaystyle \gamma }


を S の属性集合とする。
β ∩ γ = ∅ {\displaystyle \beta \cap \gamma =\varnothing }


が成立する場合、次のようになる。

T = R × S {\displaystyle T=R\times S}


T ÷ S = R {\displaystyle T\div S=R}