深度学习DeepLearning.ai系列课程学习总结：6. 具有一个隐藏层的平面数据分类代码实战

转载过程中，图片丢失，代码显示错乱。

为了更好的学习内容，请访问原创版本：
http://www.missshi.cn/api/view/blog/59abda2fe519f50d0400018f
Ps：初次访问由于js文件较大，请耐心等候（8s左右）

本节课中，我们将学习如何利用Python的来实现具有一个隐藏层的平面数据分类问题。

这是本课程的第二个Python代码实践，通过本节课的实践，你将会了解反向传播的概念、建立拥有一个隐藏层的神经网络并用于实践。

使用到的库说明

numpy：Python科学计算中最重要的库

sklearn：提供了一些简单而有效的工具用于数据挖掘和数据分析。

mathplotlib：Python画图的库

testCases：自定义文件，封装了一些用于测试样本，用于评估算法的有效性。

planar_utils：自定义文件，封装了一些作用用到的相关函数。

# Package imports
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from testCases import *
import sklearn
import sklearn.datasets
import sklearn.linear_model
from planar_utils import plot_decision_boundary
from planar_utils import sigmoid
from planar_utils import load_planar_dataset
from planar_utils import load_extra_datasets

%matplotlib inline

np.random.seed(1) # 设置随机数的seed，保证每次获取的随机数固定

数据集

接下来，我们需要执行load_planar_dataset()来加载数据集，其中，该函数内容如下：

def load_planar_dataset():
np.random.seed(1)
m = 400 # 样本数量
N = int(m/2) # 每个类别的样本量
D = 2 # 维度数
X = np.zeros((m,D)) # 初始化X
Y = np.zeros((m,1), dtype='uint8') # 初始化Y
a = 4 # 花儿的最大长度

for j in range(2):
ix = range(N*j,N*(j+1))
t = np.linspace(j*3.12,(j+1)*3.12,N) + np.random.randn(N)*0.2 # theta
r = a*np.sin(4*t) + np.random.randn(N)*0.2 # radius
X[ix] = np.c_[r*np.sin(t), r*np.cos(t)]
Y[ix] = j

X = X.T
Y = Y.T

return X, Y

加载数据集，并用图像将其显示出来：

load_planar_dataset()
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral);

Ps：图像像是一朵花儿，对于y=0时，显示为红色的点；而当y=1时，显示的是蓝色的点。

我们的目的是希望建立一个模型可以将两种颜色的点区分开。

接下来，我们看一下训练集的维度吧：

shape_X = X.shape
shape_Y = Y.shape
m = shape_X[1]  # training set size

print ('The shape of X is: ' + str(shape_X))
print ('The shape of Y is: ' + str(shape_Y))
print ('I have m = %d training examples!' % (m))
# The shape of X is: (2, 400)
# The shape of Y is: (1, 400)
# I have m = 400 training examples!

即X的维度为2*400，Y的维度为1*400，训练样本的数量为400。

简单的逻辑回归实现

在建立一个神经网络之前，我们先用逻辑回归算法来解决一下该问题。

我们可以直接使用sklearn的内置函数来完成。

clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV();
clf.fit(X.T, Y.T);

接下来，我们用图像来显示出来模型为分界线：

plot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x), X, Y)
plt.title("Logistic Regression")

# Print accuracy
LR_predictions = clf.predict(X.T)
print ('Accuracy of logistic regression: %d ' % float((np.dot(Y,LR_predictions) + np.dot(1-Y,1-LR_predictions))/float(Y.size)*100) +
'% ' + "(percentage of correctly labelled datapoints)")
# Accuracy of logistic regression: 47 % (percentage of correctly labelled datapoints)

Ps：其中plot_decision_boundary的实现如下：

def plot_decision_boundary(model, X, y):
# Set min and max values and give it some padding
x_min, x_max = X[0, :].min() - 1, X[0, :].max() + 1
y_min, y_max = X[1, :].min() - 1, X[1, :].max() + 1
h = 0.01
# Generate a grid of points with distance h between them
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
# Predict the function value for the whole grid
Z = model(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
# Plot the contour and training examples
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.ylabel('x2')
plt.xlabel('x1')
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=y, cmap=plt.cm.Spectral)

得到的模型分割结果图如下：



从分割图像和预测准确性上，我们可以看出，由于该应用不是线性可分的，因此，Logistic回归算法无法得到一个令人满意的结果。

神经网络模型

对于含有一个隐藏层的神经网络而言，其模型结构如下：



从数学公式的角度来看，对于每个训练样本x(i)，计算公式如下：



通过结合样本的真实输入y，计算代价函数J的方式如下：



Ps：对于建立一个神经网络的通用过程如下：

Step1：设计网络结构，例如多少层，每层有多少神经元等。

Step2：初始化模型的参数

Step3：循环

Step3.1：前向传播计算

Step3.2：计算代价函数

Step3.3：反向传播计算

Step3.4：更新参数

接下来，我们就逐个实现这个过程中需要用到的相关函数，并整合至nn_model()中。

当nn_model()模型建立好后，我们就可以用于预测或新数据集的训练与使用。

定义神经网络结构

给定如下变量：

n_x：输入层神经元的数目

n_h：隐藏层神经元的数目

n_y：输出层神经元的数目

此处，我们需要根据X和Y来确定n_x和n_y，另外n_h设置为4。

def layer_sizes(X, Y):
"""
Arguments:
X -- input dataset of shape (input size, number of examples)
Y -- labels of shape (output size, number of examples)

Returns:
n_x -- the size of the input layer
n_h -- the size of the hidden layer
n_y -- the size of the output layer
"""
n_x = X.shape[0] # size of input layer
n_h = 4
n_y = Y.shape[0] # size of output layer
return (n_x, n_h, n_y)

X_assess, Y_assess = layer_sizes_test_case()  #获取伪测试集
(n_x, n_h, n_y) = layer_sizes(X_assess, Y_assess)
print("The size of the input layer is: n_x = " + str(n_x))
print("The size of the hidden layer is: n_h = " + str(n_h))
print("The size of the output layer is: n_y = " + str(n_y))
# The size of the input layer is: n_x = 5
# The size of the hidden layer is: n_h = 4
# The size of the output layer is: n_y = 2

初始化模型参数

为了实现初始化模型参数的任务，我们需要实现一个initialize_parameters()函数。

按照之前理论课的内容，我们需要用一个较小的随机数来初始化W，用零向量初始化b。

def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y):
"""
Argument:
n_x -- size of the input layer
n_h -- size of the hidden layer
n_y -- size of the output layer

Returns:
params -- python dictionary containing your parameters:
W1 -- weight matrix of shape (n_h, n_x)
b1 -- bias vector of shape (n_h, 1)
W2 -- weight matrix of shape (n_y, n_h)
b2 -- bias vector of shape (n_y, 1)
"""

np.random.seed(2)
W1 = np.random.randn(n_h, n_x) * 0.01
b1 = np.zeros((n_h, 1)) * 0.01
W2 = np.random.randn(n_y, n_h) * 0.01
b2 = np.zeros((n_y, 1)) * 0.01

assert (W1.shape == (n_h, n_x))
assert (b1.shape == (n_h, 1))
assert (W2.shape == (n_y, n_h))
assert (b2.shape == (n_y, 1))

parameters = {"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}

return parameters

循环

接下来，就是整个训练过程中最重要的阶段了。

我们需要实现整个训练过程的循环过程。

首先，我们从前向传播开始：

def forward_propagation(X, parameters):
"""
Argument:
X -- input data of size (n_x, m)
parameters -- python dictionary containing your parameters (output of initialization function)

Returns:
A2 -- The sigmoid output of the second activation
cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2"
"""
# Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
# Implement Forward Propagation to calculate A2 (probabilities)
Z1 = np.dot(W1, X) + b1
A1 = np.tanh(Z1)
Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
A2 = sigmoid(Z2)
assert(A2.shape == (1, X.shape[1]))

cache = {"Z1": Z1,
"A1": A1,
"Z2": Z2,
"A2": A2}

return A2, cache

此时，根据forward_propagation()已经可以计算得到A[2]了，接下来，我们需要结合真实结果来计算代价函数：

def compute_cost(A2, Y, parameters):
"""
Computes the cross-entropy cost given in equation (13)

Arguments:
A2 -- The sigmoid output of the second activation, of shape (1, number of examples)
Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
parameters -- python dictionary containing your parameters W1, b1, W2 and b2

Returns:
cost -- cross-entropy cost given equation (13)
"""

m = Y.shape[1] # number of example

# Compute the cross-entropy cost
logprobs = np.multiply(np.log(A2),Y) + np.multiply(np.log(1 - A2), 1 - Y)
cost = -np.sum(logprobs) / m
cost = np.squeeze(cost)     # makes sure cost is the dimension we expect.
# E.g., turns [[17]] into 17
assert(isinstance(cost, float))

return cost

第三步，我们需要利用之前的cache来进行反向传播计算，计算公式如下：

def backward_propagation(parameters, cache, X, Y):
"""
Implement the backward propagation using the instructions above.

Arguments:
parameters -- python dictionary containing our parameters
cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2".
X -- input data of shape (2, number of examples)
Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)

Returns:
grads -- python dictionary containing your gradients with respect to different parameters
"""
m = X.shape[1]

# First, retrieve W1 and W2 from the dictionary "parameters".
W1 = parameters["W1"]
W2 = parameters["W2"]

# Retrieve also A1 and A2 from dictionary "cache".
A1 = cache["A1"]
A2 = cache["A2"]

# Backward propagation: calculate dW1, db1, dW2, db2.
dZ2 = A2 - Y
dW2 = np.dot(dZ2, A1.T) / m
db2 = np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True) / m
dZ1 = np.multiply(np.dot(W2.T, dZ2), (1 - np.power(A1, 2)))
dW1 = np.dot(dZ1, X.T) / m
db1 = np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True) / m

grads = {"dW1": dW1,
"db1": db1,
"dW2": dW2,
"db2": db2}

return grads

Ps：g[1](z) = tanh(z)，其导数函数如下：


最后一步，我们需要利用反向传播计算得到的dW, db来更新W和b。

通用的更新公式如下：



其中，alpha表示学习速率，theta表示被更新的变量。

此外，需要说明的是，学习速度选择的适当与否对最终的收敛结果有着很大的影响。

一个合适的学习速率可以使得函数快速且稳定的到达最优值附近。



而一个过大的学习速度会导致其无法正常收敛而出现大幅度的波动：

def update_parameters(parameters, grads, learning_rate = 1.2):
"""
Updates parameters using the gradient descent update rule given above

Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters
grads -- python dictionary containing your gradients

Returns:
parameters -- python dictionary containing your updated parameters
"""
# Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]

# Retrieve each gradient from the dictionary "grads"
dW1 = grads["dW1"]
db1 = grads["db1"]
dW2 = grads["dW2"]
db2 = grads["db2"]

# Update rule for each parameter
W1 = W1 - learning_rate * dW1
b1 = b1 - learning_rate * db1
W2 = W2 - learning_rate * dW2
b2 = b2 - learning_rate * db2

parameters = {"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}

return parameters

整合成为nn_model()

接下来，我们希望将之前准备的几个函数整合到模型中，可以方便快速的直接使用：

def nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 10000, print_cost=False):
"""
Arguments:
X -- dataset of shape (2, number of examples)
Y -- labels of shape (1, number of examples)
n_h -- size of the hidden layer
num_iterations -- Number of iterations in gradient descent loop
print_cost -- if True, print the cost every 1000 iterations

Returns:
parameters -- parameters learnt by the model. They can then be used to predict.
"""

np.random.seed(3)
n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
n_y = layer_sizes(X, Y)[2]

# Initialize parameters, then retrieve W1, b1, W2, b2. Inputs: "n_x, n_h, n_y". Outputs = "W1, b1, W2, b2, parameters".
parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]

# Loop (gradient descent)
for i in range(0, num_iterations):
# Forward propagation. Inputs: "X, parameters". Outputs: "A2, cache".
A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
# Cost function. Inputs: "A2, Y, parameters". Outputs: "cost".
cost = compute_cost(A2, Y, parameters)
# Backpropagation. Inputs: "parameters, cache, X, Y". Outputs: "grads".
grads = backward_propagation(parameters, cache, X, Y)
# Gradient descent parameter update. Inputs: "parameters, grads". Outputs: "parameters".
parameters = update_parameters(parameters, grads)
# Print the cost every 1000 iterations
if print_cost and i % 1000 == 0:
print ("Cost after iteration %i: %f" %(i, cost))

return parameters

预测

除了训练模型外，我们还需要使用我们的模型来进行预测。



通常，我们会设置一个阈值，当预测结果大于该阈值时，我们认为其为1，否则为0。0.5是一个很常用的阈值。

def predict(parameters, X):
"""
Using the learned parameters, predicts a class for each example in X

Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters
X -- input data of size (n_x, m)

Returns
predictions -- vector of predictions of our model (red: 0 / blue: 1)
"""
A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
predictions = (A2 > 0.5)
return predictions

到目前为止，我们已经实现了完整的神经网络模型和预测函数，接下来，我们用我们的数据集来训练一下吧：

parameters = nn_model(X, Y, n_h = 4, num_iterations = 10000, print_cost=True)

# Plot the decision boundary
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4))

分类曲线如上图所示，接下来，我们使用预测函数计算一下我们模型的预测准确度：

# Print accuracy
predictions = predict(parameters, X)
print ('Accuracy: %d' % float((np.dot(Y,predictions.T) + np.dot(1-Y,1-predictions.T))/float(Y.size)*100) + '%')
# Accuracy: 90%

相比47%的逻辑回归预测率，使用含有一个隐藏层的神经网络预测的准确度可以达到90%。

调整隐藏层神经元数目观察结果

接下来，我们使用包含不同隐藏层神经元的模型来进行训练，以此来观察神经元数量度模型的影响。

我们分别适用包含1,2,3,4,5,20,50个神经元的模型来进行训练：

plt.figure(figsize=(16, 32))
hidden_layer_sizes = [1, 2, 3, 4, 5, 20, 50]
for i, n_h in enumerate(hidden_layer_sizes):
plt.subplot(5, 2, i+1)
plt.title('Hidden Layer of size %d' % n_h)
parameters = nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 5000)
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
predictions = predict(parameters, X)
accuracy = float((np.dot(Y,predictions.T) + np.dot(1-Y,1-predictions.T))/float(Y.size)*100)
print ("Accuracy for {} hidden units: {} %".format(n_h, accuracy))

对比上述图像，我们可以发现：

1.神经元数目越多，生成的分割曲线越复杂，最终越可能导致过拟合。

2.对该应用而言，最好的神经元数目是n_h=5，此时，几乎没有过拟合问题发生。

3.后续的课程中，我们将继续讲解正则化，通过一些正则化方法，我们可以有效的避免过拟合的问题发生。

用其他数据集进行性能测试

如果你想要用其他的数据集进行练习，这儿可以给你提供一些额外的训练集：

noisy_circles, noisy_moons, blobs, gaussian_quantiles, no_structure = load_extra_datasets()

datasets = {"noisy_circles": noisy_circles,
"noisy_moons": noisy_moons,
"blobs": blobs,
"gaussian_quantiles": gaussian_quantiles}

### START CODE HERE ### (choose your dataset)
dataset = "noisy_moons"
### END CODE HERE ###

X, Y = datasets[dataset]
X, Y = X.T, Y.reshape(1, Y.shape[0])

# make blobs binary
if dataset == "blobs":
Y = Y%2

# Visualize the data
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral);

noisy_moons：



noisy_circles：



blobs：



gaussian_quantiles：



其中，load_extra_datasets()函数的定义如下：

def load_extra_datasets():
N = 200
noisy_circles = sklearn.datasets.make_circles(n_samples=N, factor=.5, noise=.3)
noisy_moons = sklearn.datasets.make_moons(n_samples=N, noise=.2)
blobs = sklearn.datasets.make_blobs(n_samples=N, random_state=5, n_features=2, centers=6)
gaussian_quantiles = sklearn.datasets.make_gaussian_quantiles(mean=None, cov=0.5, n_samples=N, n_features=2, n_classes=2, shuffle=True, random_state=None)
no_structure = np.random.rand(N, 2), np.random.rand(N, 2)

return noisy_circles, noisy_moons, blobs, gaussian_quantiles, no_structure

好了，本节课的内容到此为止啦！

更多更详细的内容，请访问原创网站：
http://www.missshi.cn/api/view/blog/59abda2fe519f50d0400018f
Ps：初次访问由于js文件较大，请耐心等候（8s左右）