01背包，完全背包

01，完全，多重背包模版：

http://blog.csdn.net/u012860063/article/details/32911251

01背包：

转载自：

http://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/52230368

https://www.cnblogs.com/Kalix/p/7622102.html

https://www.cnblogs.com/Kalix/p/7622102.html

先看问题:

有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

通过阅读问题，因为背包就是要往里面放东西，所以一件物品就是有放或不放两种情况，那么怎么才能判断当前物品该不该放进去从而使利益最大化呢。

首先，我们用i代表前i件物品，v代表包的最大承重，ci是第i件物品的重量、wi是第i件物品的价值、f[i,j]是最大价值(i个物品放入有j个空间的包)。

第一种情况：第i件不放进去，这时所得价值(f[i][j])为:f[i][j]=f[i-1][v]

因为不放进去，所以说当前价值(f[i][j])为前i-1个物品的价值f[i-1][v]：当前i个物品用j个空间所拥有的价值就等于前i-1个物品用j个空间的价值，因为物品i没有放进去,

所以就相当于继承f[i-1][v]了，所以f[i][j]=f[i-1][v]

另一种情况：第i件放进去，这时所得价值为:f[i][j]=f[i-1][v-c[i]]+w[i]

因为放进去了，所以说当前价值(f[i][j])不是前i-1个物品的价值f[i-1][v]：因为你放进去了，所以这个时候包内的空间就不是v了，而应该是v-c[i]，所以说，

你现在需要继承前i-1个物品占用体积为v-c[i]时的价值，因为你将物品放进去了，所以还需要加上当前物品价值wi,所以f[i][j]=f[i-1][v-c[i]]+w[i]

因为对于第i件物品就是这两种操作，而你又想要最大价值，所以

f[i][j]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i])

贴一段代码：(n为物品数量)

for (int i=1;i<=n;++i) {　
for (int j=v;j>=0;--j)　{
if(c[i]<=j)//如果当前物品可以放入当前空间的背包
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
else
f[i][j]=f[i-1][j];//如果当前物品放不进去，那么继承前i个物品在当前空间大小时的价值
　　　}
}

我们再进行优化，改变一下dp思路，让f[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大价值。

所以说，对于第i件物品有放或不放两种情况，而放的情况里又分为放1件、2件、……v/c[i]件

如果不放那么f[i][j]=f[i-1][j]；如果确定放，那么当前背包中应该出现至少一件第i种物品，所以f[i][j]中至少应该出现一件第i种物品,即f[i][j]=f[i][j-c[i]]+w[i]，为什么会是f[i][j-c[i]]+w[i]？

因为我们要把当前物品i放入包内，因为物品i可以无限使用，所以要用f[i][j-c[i]]；如果我们用的是f[i-1][j-c[i]]，f[i-1][j-c[i]]的意思是说，我们只有一件当前物品i，所以我们在放入物品i的时候需要考虑到第i-1个物品
4000
的价值(f[i-1][j-c[i]])；但是现在我们有无限件当前物品i，我们不用再考虑第i-1个物品了，我们所要考虑的是在当前容量下是否再装入一个物品i，而[j-c[i]]的意思是指要确保f[i][j]至少有一件第i件物品，所以要预留c[i]的空间来存放一件第i种物品。总而言之，如果放当前物品i的话，它的状态就是它自己”i”，而不是上一个”i-1”。

所以说状态转移方程为：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i])

贴一段代码：

for (int i=1;i<=n;++i)
{
for (int j=v;j>=0;--j)
{
if(t[i]<=j)
f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+c[i]);
else f[j]=f[j];
}
}

完全背包：

先看问题：在n种物品中选取若干件（同一种物品可多次选取）放在空间为v的背包里，每种物品的体积为c1，c2，…，cn，与之相对应的价值为w1,w2，…，wn.求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大

看完这个问题，你也许会觉得这个不就是01背包的升级版吗，其实就是这样，完全背包问题与01背包问题的区别在于完全背包每一件物品的数量都有无限个，而01背包每件物品数量只有1个

所以说与它相关的策略已经不是只有取和不取这两种策略了，而是有取0件、取1件、取2件……等等很多种策略

如果我们用和01背包一样的状态，f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大价值，那我们应该用k表示当前容量下可以装第i种物品的件数，那么k的范围应该是0≤k≤v/c[i]，

既然要用当前物品i把当前容量装满，那需要0≤k≤v/c[i]件，其中k表示件数。

下面给出状态转移方程：

f[i][j] = max{f[i-1][v],f[i-1][v - k * c[i]] + k * w[i]}(0<=k*c[i]<=v)

for (int i = 1; i < n; i++){
for (int j = 1; j <= v; j++){
for (int k = 0; k*c[i] <= j; k++){
　　  if(c[i]<=j)/*如果能放下*/
　　  f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j - k * c[i]] + k * w[i]};/*要么不取，要么取0件、取1件、取2件……取k件*/
　  　else/*放不下的话*/
　　  f[i][j]=f[i-1][j]/*继承前i个物品在当前空间大小时的价值*/
}
}
}

我们再进行优化，改变一下dp思路，让f[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大价值。

所以说，对于第i件物品有放或不放两种情况，而放的情况里又分为放1件、2件、……v/c[i]件

如果不放那么f[i][j]=f[i-1][j]；如果确定放，那么当前背包中应该出现至少一件第i种物品，所以f[i][j]中至少应该出现一件第i种物品,即f[i][j]=f[i][j-c[i]]+w[i]，为什么会是f[i][j-c[i]]+w[i]？

因为我们要把当前物品i放入包内，因为物品i可以无限使用，所以要用f[i][j-c[i]]；如果我们用的是f[i-1][j-c[i]]，f[i-1][j-c[i]]的意思是说，我们只有一件当前物品i，所以我们在放入物品i的时候需要考虑到第i-1个物品的价值(f[i-1][j-c[i]])；但是现在我们有无限件当前物品i，我们不用再考虑第i-1个物品了，我们所要考虑的是在当前容量下是否再装入一个物品i，而[j-c[i]]的意思是指要确保f[i][j]至少有一件第i件物品，所以要预留c[i]的空间来存放一件第i种物品。总而言之，如果放当前物品i的话，它的状态就是它自己”i”，而不是上一个”i-1”。

所以说状态转移方程为：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i])

for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
{
for(int j = 1 ; j <= v ; j++)
{
if(c[i]<=j)
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i]);
else
f[i][j]=f[i-1][j];
}
}