解题报告：HDU_6185 Covering (轮廓线DP+高斯消元+矩阵快速幂)

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题意：

给一个4*n的表格，你有两种矩阵(1*2)，(2*1)，询问放满的方案数。

n<=1e9

思路：

显然公式应该是一个线性递推方程，知道后可以用矩阵快速幂在O( log(n) * m^3 )求得答案（m为方程的项数）

为了求这个方程，我们可以用轮廓线DP求的方程的前k项

然后假设一个k>m，用高斯消元求k*k的矩阵的秩，从而求得m

再用高斯消元求得方程即可

求的方程为


代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mod = 1e9+7;

void init(){
int dp[100][16]={0};
dp[1][0]=dp[1][3]=dp[1][6]=dp[1][12]=dp[1][15]=1;
for(int x=2;x<=16;x++){
for(int i=0;i<16;i++){
dp[x][i] += dp[x-1][i^15];
for(int j=0;j<3;j++){
if((i&(1<<j))&&(i&(1<<(j+1)))){
int t = i^(1<<j)^(1<<(j+1));
dp[x][i] += dp[x-1][t^15];
//if(x==2)printf("%d is from %d\n",i,i^(1<<j)^(1<<(j+1)));
}
}//printf("dp[%d][%d]--->%d\n",x,i,dp[x][i]);
}dp[x][15]+=dp[x-1][15];
printf("dp[%d]--->%d\n",x,dp[x][15]);
}
}

namespace fast_Matrix{

int n=4;
const int MAX_E = 4;

inline void debug(long long a[MAX_E][MAX_E]){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
printf("%I64d%c",a[i][j],j!=n-1?' ':'\n');
}
}printf("\n");
}

long long ans[5]={1,1,5,11,36};

long long fast_mat(long long y)
{

long long tmp[MAX_E][MAX_E]={0};
long long mut[MAX_E][MAX_E]={
1,5,1,mod-1,
1,0,0,0,
0,1,0,0,
0,0,1,0,
};
long long res[MAX_E][MAX_E]={0};

for(int i=0;i<n;i++){
res[i][i] = 1;
}

while(y){
if(y & 1){
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
tmp[i][j] = res[i][j];
memset(res,0,sizeof(res));
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)if(tmp[i][j])
for(int k = 0; k < n; k++)
res[i][k] = (res[i][k] + tmp[i][j] * mut[j][k])%mod ;
}

for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
tmp[i][j] = mut[i][j];
memset(mut,0,sizeof(mut));
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)if(tmp[i][j])
for(int k = 0; k < n; k++)
mut[i][k] = (mut[i][k] + tmp[i][j] * tmp[j][k])%mod ;
y >>= 1;
}
long long val = 0;
for(int i=0;i<n;i++)val = (val+res[0][i]*ans[n-i-1])%mod;
return val;
}

}
using namespace fast_Matrix;

int main()
{
init();
long long t;
while(scanf("%lld",&t)==1){
if(t>=3)printf("%lld\n",fast_mat(t-3));
else printf("%lld\n",ans[t]);
}return 0;
}