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最大子列和的四种算法分析

01-复杂度1 最大子列和问题（20 分）

给定K个整数组成的序列{ N1, N2, …, NK}，“其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

数据1：与样例等价，测试基本正确性；

数据2：102个随机整数；

数据3：103个随机整数；

数据4：104个随机整数；

数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6

-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

算法1：暴力

int MaxSeqSum(int A[],int N) {
int ThisSum,MaxSum=0;
for(int i=0;i<N;i++) {
ThisSum=A[i];
for(int j=i+1;j<N;j++)
{
ThisSum+=A[j];
if(ThisSum>MaxSum)
MaxSum=ThisSum;
}
}
return MaxSum;
}

T(N)=O(N^2)

法二：分治T(N)=O(Nlog2N)

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

int LeftBorderSum, RightBorderSum;
int center, i;

if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
if( List[left] > 0 )  return List[left];
else return 0;
}

/* 下面是"分"的过程 */
center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
/* 递归求得两边子列的最大和 */
MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );

/* 下面求跨分界线的最大子列和 */
MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
LeftBorderSum += List[i];
if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
} /* 左边扫描结束 */

MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
RightBorderSum += List[i];
if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
} /* 右边扫描结束 */

/* 下面返回"治"的结果 */
return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}

int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

法三：在线处理 T(N)=O(N)

int MaxSeqSum(int A[],int N) {
int ThisSum=MaxSum=0;
for(int i=0;i<N;i++) {
ThisSum+=A[i];
if(ThisSum<0) ThisSum=0;
else if(ThisSum>MaxSum)
MaxSum=ThisSum;
}
return MaxSum;
}