齐肯多夫定理--斐波那契数列

简述

齐肯多夫定理： 任何正整数都可以表示为若干个不连续的斐波那契数之和
.

证明

一下用F来表示斐波那契数列.
数学归纳法：
1.针对小部分的情况 ： 1 = F(2), 2 = F(3), 3 = F(4), 这个命题是成立的， 但是我们需要证明对于任何数都是成立的.
2.针对任意正整数m
(1)若m为斐波那契数， 命题显然成立.
(2)若m不为斐波那契数， 设某K1使得 F(K1) < m < F(K1+1)
delta = m - F(K1)；
可得
delta = m - F(K1) < F(K1+1) - F(K1) = F（K1-1);
所以
delta < F(K1-1)
因为delta也是一个正整数， 所以由归纳假设， delta也是由不同不连续斐波那契数组成，设为delta = F（K2） +
F（K3）...（K2 > K3 ...) . 因为delta < F(K1-1), 所以F(K2) < F(K1-1) < F(K1)， 所以F(K2) 与 F(K1) 也不连续，
那么 m = F（K1) + F(K2) + F(K3) + F(K4)... 也是由不同连续斐波那契数组成的.

综上， 由于m是任意的正整数， 且小情况下理论正确， 那么通过上述数学归纳法可证明， 定理正确.