算法：动态规划——区间模型之最少添加几个字符使得字符串变成回文串

题目：给定一个长度为n（n
<= 1000）的字符串A，求插入最少多少个字符使得它变成一个回文串。

思路：

典型的动态规划区间模型，区间模型的状态表示一般为d[i][j]，表示区间[i,
j]上的最优解，然后通过状态转移计算出[i+1, j]或者[i, j+1]上的最优解，逐步扩大区间的范围，最终求得[1, len]的最优解。

回文串拥有很明显的子结构特征，即当字符串X是一个回文串时，在X两边各添加一个字符‘a’后，aXa仍然是一个回文串，我们用d[i][j]来表示A[i…j]这个子串变成回文串所需要添加的最少的字符数，那么对于A[i] == A[j]的情况，很明显有 d[i][j] = d[i+1][j-1] （这里需要明确一点，当i+1 > j-1时也是有意义的，它代表的是空串，空串也是一个回文串，所以这种情况下d[i+1][j-1] = 0）；当A[i] != A[j]时，我们将它变成更小的子问题求解，我们有两种决策：

1、在A[j]后面添加一个字符A[i]；

2、在A[i]前面添加一个字符A[j]；

根据两种决策列出状态转移方程为：

d[i][j] = min{ d[i+1][j], d[i][j-1] } + 1;                (每次状态转移，区间长度增加1)

空间复杂度O(n^2)，时间复杂度O(n^2)，
代码：
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int main()
{
string str;
cin>>str;
int len = str.length();
int**vec = new int*[len];//vec[i][j]表示i到j之间的字符串要成为回文串所需要增加的最小字符数
for (int i=0;i<len;i++)
{
vec[i]=new int[len]();
}
int i,j,k;
for (k=2;k<=len;k++)//k表示相隔的长度
{
for (i=0;i+k-1<len;i++)
{
j=i+k-1;
if (str[i]==str[j])
{
vec[i][j]=vec[i+1][j-1];
}
else
{
vec[i][j]=min(vec[i+1][j],vec[i][j-1])+1;//在前面或者后面添加一个字符
}
}
}

cout<<vec[0][len-1];

return 0;

}