[NOIp 2015]子串
2017-08-30 21:57
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Description
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。Input
输入文件名为 substring.in。第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。 第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。
Output
输出文件名为 substring.out。 输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。Sample Input1
6 3 1 aabaab aab
Sample Output1
2
Sample Input2
6 3 2 aabaab aab
Sample Output2
7
Sample Input3
6 3 3 aabaab aab
Sample Output3
7
Sample Explanation
所有合法方案如下:(加下划线的部分表示取出的子串)样例一:aab aab / aab aab
样例二:a ab aab / a aba ab / a a ba ab / aab a ab / aa b aab / aa baa b / aab aa b
样例三:a a b aab / a a baa b / a ab a a b / a aba a b / a a b a a b / a a ba a b / aab a a b
HINT
题解
100分算法:
1、设状态$f[i][j][k]$为$A$串第$i$个匹配$B$串第$j$个,此时分了$k$段的方案数,$g[i][j][k]$表示$A$串前$i$个和$B$串前$j$个,此时分了$k$段的方案数;两者之间的区别在于$f[i][j][k]$必须满足$a[i]==b[j]$。
2、转移如下:
$$f[i][j][k]=(f[i-1][j-1][k]+g[i-1][j-1][k-1])×(a[i]==b[j])$$
$$g[i][j][k]=g[i-1][j][k]+f[i][j][k]$$
类似于最长公共子序列的思想。
边界情况是$f[0][0][0]=g[0][0][0]=1$,最后的答案就是$g
[m][k]$。
3、实现方面要用滚动数组优化,我们考虑将第一维滚动,那么初始化时还要将$f[1][0][0]=g[1][0][0]=1$,样例就很好解释为什么;
4、时间复杂度:$O(n*m*k)$,空间复杂度$O(m*k)$。
#include<set> #include<map> #include<ctime> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<vector> #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> #define LL long long #define Max(a,b) ((a)>(b) ? (a):(b)) #define Min(a,b) ((a)<(b) ? (a):(b)) using namespace std; const int MOD=1000000007; const int N=1000; const int M=200; int n,m,K; char a[N+5],b[M+5]; int f[2][M+5][M+5],g[2][M+5][M+5]; bool t; int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&K); scanf("%s%s",a+1,b+1); f[0][0][0]=f[1][0][0]=g[0][0][0]=g[1][0][0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) { t=!t; for (int j=1;j<=m;j++) for (int k=1;k<=K;k++) f[t][j][k]=((f[!t][j-1][k]+g[!t][j-1][k-1])*(a[i]==b[j]))%MOD, g[t][j][k]=(g[!t][j][k]+f[t][j][k])%MOD; } printf("%d\n",g[t][m][K]); return 0; }
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