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[置顶] 0-1背包问题,两个CPU核分配任务问题

2017-08-30 08:07 330 查看
   
0-1背包问题,《算法导论》中是这样说明的,一个正在抢劫商店的小偷发现了N个商品,第i个商品价值v[i]美元,重w[i]磅,v[i]和w[i]都是整数。这个小偷希望拿走价值尽量高的商品,但他的背包最多能容纳W磅重的商品,W是一个整数。他该怎么拿?(对每个商品,小偷要么把它完整拿走,要么把它留下,他不能只拿走一个商品的一部分,或者把一个商品拿走多次。)

    之前说过“两个CPU核分配任务问题”,给定n(0~N)个任务work,每个任务i=0~n-1都有各自需要处理的时间needTime[i]
=1~1000(ms)。另外有两个CPU核(核A、核B)处理这些任务,将n个任务分配给两个CPU核,求这两个核处理完所有给定任务所需要的最短时间。(其中,每个任务只能分配给一个核进行处理,且只被能处理一次。每个CPU核同一时间只能处理一个任务。)

    第二个问题本质上就是第一个问题,N个任务work就是N个商品,任务所需的处理时间needTime[i] 就是商品的重量w[i],而两个CPU核就是小偷的背包,只不过这里的任务没有价值,不过我们可以将价值和任务的处理时间看作同一个,即任务的价值还是needTime[i],对应于商品的价值v[i]。显而易见,我们可以使用0-1背包的解决方法解决“两个CPU核任务分配问题”。

    另外,这里需要注意,我们把处理任务总时间较短那个核(假设为 核A)看作一个背包,因为所有任务的总时间不变,只需求出核A,核B也自然得到。核A的解越大,核B的解越小。核B得到最小的解时,便得到了问题的解。

   
解析0-1背包问题:

    0-1背包问题的解决思路是使用动态规划,设dp[i][j]表示存在前 i 件商品,背包的容量为W
== j 时,的最优解。动态规划是在子问题dp[ik][jk](ik<i , jk<j)得到最优解后求解当前dp[i][j]的最优解的过程。关键是想明白dp[i][j]与dp[ik][jk]之间的关系,从商品的角度来思考即:

1.当背包 j 无法容下 i 商品时(w[i]>j)时,那么当前dp[i][j]的最优解就和没有
i 商品一样,即dp[i][j]=dp[i - 1][j];

2.当背包 j 可以容下 i 商品时(w[i]<=j)时,我们要判断,以最佳的方式塞下
i 商品得到的价值(dp[i - 1][j - weight[i]] +
value[i]),和没有 i 商品时的最优解dp[i - 1][j],哪个价值更高,采用这两者价值更高的方案。

下面是“0-1背包”的算法,和使用该算法解决上面的“两个CPU核任务分配的问题”:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 0-1背包问题
int getMaxValue(const vector<int>& weight, const vector<int>& value, int packet)
{
int len = weight.size();
vector<vector<int> > dp(len + 1, vector<int>(packet + 1, 0));
for (int j = 1; j <= packet; j++)
for (int i = 1; i <= len; i++)
if (weight[i - 1] <= j)
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1], dp[i - 1][j]);// 当背包 j 可以容下 i 商品时(w[i]<=j)时,我们要判断,以最佳的方式塞下 i 商品得到的价值(dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]),和没有 i 商品时的最优解dp[i - 1][j],哪个价值更高,采用这两者价值更高的方案
else
dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 当背包 j 无法容下 i 商品时(w[i]>j)时,那么当前dp[i][j]的最优解就和没有 i 商品一样
return dp[len][packet];
}

int main()
{
int n, num;
cin >> n;
vector<int> nums(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> num;
nums.push_back(num);
}
int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);// 所有任务的总时间
int half = static_cast<int>(sum / 2);// 处理任务总时间较短那个核,的最大的容量
cout << sum - getMaxValue(nums, nums, half) << endl;

return 0;
}
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