多重集组合数(动态规划(DP))
2017-08-29 18:58
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注:文章内容源自《挑战程序设计竞赛》(第二版)
1<=n<=1000
1<=m<=1000
1<=ai<=1000
2<=M<=10000
m=3
a={ 1,2,3 }
M=10000
为了不重复计数,同一种类的物品最好一次性处理好。我们可以这样定义:
dp[i+1][j]:=从前i种物品中取出j个的组合总数
为了从前i种物品中取出j个,可以从前i-1个物品中取出j-k个,再从第i种物品中取出k个添加进来,所以得到如下递推关系:
dp[i+1][j]=∑k=0 min(j,ai) dp[i][j−k]
复杂度为O(nm^2),不过有
dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i][j-1]+...+dp[i−1][j−ai] ,
dp[i+1][j−1]=dp[i][j−1]+...+dp[i][j−ai−1]
所以dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i+1][j-1]-dp[i][j-ai-1]
这样复杂度就下降到O(nm)了。
原题
多重集组合数
有 n 种物品,第 i 种物品有 ai 个。不同种类的物品可以相互区分但是相同的种类无法区分。从这些物品中取出 m 个的话,有多少种取法?求出方案数模M的余数。1<=n<=1000
1<=m<=1000
1<=ai<=1000
2<=M<=10000
样例输入
n=3m=3
a={ 1,2,3 }
M=10000
样例输出
6 (0+0+3,0+1+2,0+2+1,1+0+2,1+1+1,1+2+0)
涉及知识及算法
为了不重复计数,同一种类的物品最好一次性处理好。我们可以这样定义:dp[i+1][j]:=从前i种物品中取出j个的组合总数
为了从前i种物品中取出j个,可以从前i-1个物品中取出j-k个,再从第i种物品中取出k个添加进来,所以得到如下递推关系:
dp[i+1][j]=∑k=0 min(j,ai) dp[i][j−k]
复杂度为O(nm^2),不过有
dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i][j-1]+...+dp[i−1][j−ai] ,
dp[i+1][j−1]=dp[i][j−1]+...+dp[i][j−ai−1]
所以dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i+1][j-1]-dp[i][j-ai-1]
这样复杂度就下降到O(nm)了。
代码
int n,m; int a[MAX_N]; int dp[MAX_N+1][MAX_M+1]; void solve() { //一个都不取的方法总是只有一种 for(int i=0;i<=n;i++) { dp[i][0]=1; } for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=1;j<=m;j++) { if(j-1-a[i]>=0) { //在有取余的情况下,要避免减法运算结果出现负数 dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j]-dp[i][j-1-a[i]]+M)%M; } else { dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j])%M; } } } printf("%d\n",dp [m]); }
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