划分数（动态规划（DP））

作者：码农场站主

链接：http://www.hankcs.com/program/m-n-recursive-division.html

原题

有n个无区别的物品，将它们划分为不超过m组，求出划分方法数模M的余数。

限制条件：

1≤m≤n≤1000

2≤M≤10000

涉及知识及算法

这样的划分被称作n的m划分，dp

dp 数组可以这么定义：

dp[i][j]=j 的i划分的总数。

递推关系的难点在于不重复。我们采用一种标准将问题化为子问题，这个标准需要用到一种新的定义。我们定义n的m 划分具体为一个集合ai，ai满足∑mi=1ai=n 。可以看出ai里一共有m个数，这m个数不一定大于0。

这个标准是：是否存在某个ai=0；这样可以将ai分为两种情况：

1、不存在某个ai=0

此时ai的个数等于ai−1的个数，即 n–m的m 划分。理解起来并不难，集合里每个数都减去1，一共减了m个。

此时dp[i][j]=dp[i][j−i] 。

2、存在某个ai=0

此时{a_i}的个数等于 n的m–1 划分。可以这样思考，存在ai=0，说明划分一定不足m组，那么至少可以少分一组同时满足划分数相同。

此时dp[i][j]=dp[i−1][j] 。

那么ai总的划分数就是这两种情况的综合，dp[i][j]=dp[i][j−i]+dp[i−1][j]。

代码

int n,m;
int dp[MAX_M+1][MAX_N+1];
void solve()
{
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=0;j<=n;j++)
{
if(j-i>=0)
{
dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-i])%M;
}
else
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
}
pintf("%d\n",dp[m]
);
}