HDU 6134 Battlestation Operational

题意：

求       f(n)=∑i=1n∑j=1i⌈ij⌉[(i,j)=1]

思路:

比赛的时候不会写，看了别人的博客半天才看懂，看来理解还是不够深啊

这里就不推导了

重新对欧拉函数，莫比乌斯函数，还有那个因子数的积性有了新的理解

欧拉函数：

我们知道


由于欧拉筛法，每次我们都遍历一个素数 j
如果 n%j==0 说明 n中存在素因子j ，那么在euler
中已经乘过（1 - （1/j））
euler
  = n*（1 - （1/j））*k
euler[n*j] = n*j*（1-（1/j））*k =       euler
*j
如果n%j！=0 ，那么说明 n,j互素 
euler[n*j]=euler
*euler[j]=                euler
*(j-1)

if(i%prime[j]==0)
{
euler[i*prime[j]]=euler[i]*prime[j];
break;
}
euler[i*prime[j]]=euler[i]*(prime[j]-1);

莫比乌斯函数：





同样由于欧拉筛法，每次我们都遍历一个素数 j

如果 n%j  ==0 说明 n中存在素因子j，那么u[j*n]=0；
如果 n%j！=0 说明 n中不存在素因子j ，那么u[j*n]=-u
；

if(i%prime[j]==0)
{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];

因子数：



因子数=(1 + e1) * (1 + e2) *
... * (1 + ek)

如果 n%j！=0 说明 n中不存在素因子j ，j与n互素，那么d[j*n]=d
*(1+1)；
如果 n%j  ==0 说明 n中存在素因子j，这种情况要好好想想
由于欧拉筛法，素数
j是n的最小的一个素因子
n*j=（n/（j^k））*(j^(k+1))
d[j*n] =  d[（n/（j^k））]*
d[(j^(k+1))];

由于欧拉筛法，素数 j是n的最小的一个素因子
（j^k）与
n是一个一一对应的关系 

令temp
=（j^k）；
d[j*n]
=  d[   n/temp
   ]* （d[temp
]+1）;

于是对于temp[n]

如果 n%j！=0 说明 n中不存在素因子j ，                                       temp[n*j]=temp[n]
 * j;
如果 n%j  ==0 说明 n中存在素因子j，此时j是n*j最小的素因子      temp[n*j]=j;

if(i%prime[j]==0)
{
temp[i*prime[j]]=prime[j]*temp[i];
d[i*prime[j]]=d[i/temp[i]]*(d[temp[i]]+1);
break;
}
temp[i*prime[j]]=prime[j];
d[i*prime[j]]=2*d[i];

过题代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
int prime[maxn],mu[maxn],euler[maxn],res,d[maxn],temp[maxn],ans[maxn];
void mo()
{
mu[1]=euler[1]=d[1]=1;
res=0;
for(int i=2;i<maxn;i++)
{
if(!temp[i])
{
temp[i]=i;
euler[i]=i-1;
mu[i]=-1;
prime[res++]=i;
d[i]=2;
}
for(int j=0;j<res&&i*prime[j]<maxn;j++)
{
if(i%prime[j]==0)
{
mu[i*prime[j]]=0;
euler[i*prime[j]]=euler[i]*prime[j];
temp[i*prime[j]]=prime[j]*temp[i];
d[i*prime[j]]=d[i/temp[i]]*(d[temp[i]]+1);
break;
}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
euler[i*prime[j]]=euler[i]*(prime[j]-1);
temp[i*prime[j]]=prime[j];
d[i*prime[j]]=2*d[i];
}
}

for(int i=2;i<maxn;i++)
d[i]+=d[i-1];

for(int i=1;i<maxn;i++)
for(int j=i;j<maxn;j+=i)
if(mu[j/i]!=0) ans[j]=(ans[j]+(mu[j/i]*d[i])%mod)%mod;

for(int i=1;i<maxn;i++)
ans[i]=((ans[i]+ans[i-1])%mod+euler[i]-1)%mod;

}
int main()
{
mo();
int n;
while(~(scanf("%d",&n)))
cout<<ans
<<endl;
return 0;
}