NOIP 2012 开车旅行
2017-08-29 08:01
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题目描述
小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行,他们将想去的城市从 1 到 N 编号,且编号较小的城市在编号较大的城市的西边,已知各个城市的海拔高度互不相同,记城市 i 的海拔高度为
Hi,城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值,即
d[i,j] = |Hi− Hj|。 旅行过程中,小 A 和小 B 轮流开车,第一天小 A 开车,之后每天轮换一次。他们计划
选择一个城市 S 作为起点,一直向东行驶,并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B
的驾驶风格不同,小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地,而小 A 总是沿
着前进方向选择第二近的城市作为目的地(注意:本题中如果当前城市到两个城市的距离
相同,则认为离海拔低的那个城市更近)。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的
城市,或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里,他们就会结束旅行。
在启程之前,小 A 想知道两个问题:
1.对于一个给定的 X=X0,从哪一个城市出发,小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶
的路程总数的比值最小(如果小 B 的行驶路程为 0,此时的比值可视为无穷大,且两个无穷大视为相等)。如果从多个城市出发,小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比
值都最小,则输出海拔最高的那个城市。
对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si,小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程
总数。
输入输出格式
输入格式:第一行包含一个整数 N,表示城市的数目。
第二行有 N 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,依次表示城市 1 到城市 N 的海
拔高度,即 H1,H2,……,Hn,且每个 Hi都是不同的。
第三行包含一个整数 X0。
第四行为一个整数 M,表示给定 M 组 Si和 Xi。
接下来的 M 行,每行包含 2 个整数 Si和 Xi,表示从城市 Si出发,最多行驶 Xi公里。
输出格式:
输出共 M+1 行。
第一行包含一个整数 S0,表示对于给定的 X0,从编号为 S0的城市出发,小 A 开车行驶
的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。
接下来的 M 行,每行包含 2 个整数,之间用一个空格隔开,依次表示在给定的 Si和
Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。
输入输出样例
输入样例#1:drive1 4 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 3 3 4 3 drive2 10 4 5 6 1 2 3 7 8 9 10 7 10 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 7
输出样例#1:
drive1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 drive2 2 3 2 2 4 2 1 2 4 5 1 5 1 2 1 2 0 0 0 0 0
说明
【输入输出样例 1 说明】各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。
如果从城市 1 出发,可以到达的城市为 2,3,4,这几个城市与城市 1 的距离分别为 1,1,2,
但是由于城市 3 的海拔高度低于城市 2,所以我们认为城市 3 离城市 1 最近,城市 2 离城市
1 第二近,所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后,前面可以到达的城市为 3,4,这两个城
市与城市 2 的距离分别为 2,1,所以城市 4 离城市 2 最近,因此小 B 会走到城市 4。到达城
市 4 后,前面已没有可到达的城市,所以旅行结束。
如果从城市 2 出发,可以到达的城市为 3,4,这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1,由
于城市 3 离城市 2 第二近,所以小 A 会走到城市 3。到达城市 3 后,前面尚未旅行的城市为
4,所以城市 4 离城市 3 最近,但是如果要到达城市 4,则总路程为 2+3=5>3,所以小 B 会
直接在城市 3 结束旅行。
如果从城市 3 出发,可以到达的城市为 4,由于没有离城市 3 第二近的城市,因此旅行
还未开始就结束了。
如果从城市 4 出发,没有可以到达的城市,因此旅行还未开始就结束了。
【输入输出样例 2 说明】
当 X=7 时,
如果从城市 1 出发,则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9,小 A 走的距离为 1+2=3,小 B 走的
距离为 1+1=2。(在城市 1 时,距离小 A 最近的城市是 2 和 6,但是城市 2 的海拔更高,视
为与城市 1 第二近的城市,所以小 A 最终选择城市 2;走到 9 后,小 A 只有城市 10 可以走,
没有第 2 选择可以选,所以没法做出选择,结束旅行)
如果从城市 2 出发,则路线为 2 -> 6 -> 7 ,小 A 和小 B 走的距离分别为 2,4。
如果从城市 3 出发,则路线为 3 -> 8 -> 9,小 A 和小 B 走的距离分别为 2,1。
如果从城市 4 出发,则路线为 4 -> 6 -> 7,小 A 和小 B 走的距离分别为 2,4。
如果从城市 5 出发,则路线为 5 -> 7 -> 8 ,小 A 和小 B 走的距离分别为 5,1。
如果从城市 6 出发,则路线为 6 -> 8 -> 9,小 A 和小 B 走的距离分别为 5,1。
如果从城市 7 出发,则路线为 7 -> 9 -> 10,小 A 和小 B 走的距离分别为 2,1。
如果从城市 8 出发,则路线为 8 -> 10,小 A 和小 B 走的距离分别为 2,0。
全国信息学奥林匹克联赛(NOIP2012)复赛
提高组 day1
第 7 页 共 7 页
如果从城市 9 出发,则路线为 9,小 A 和小 B 走的距离分别为 0,0(旅行一开始就结
束了)。
如果从城市 10 出发,则路线为 10,小 A 和小 B 走的距离分别为 0,0。
从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小,
但是城市 2 的海拔更高,所以输出第一行为 2。
【数据范围】
对于 30%的数据,有 1≤N≤20,1≤M≤20;
对于 40%的数据,有 1≤N≤100,1≤M≤100;
对于 50%的数据,有 1≤N≤100,1≤M≤1,000;
对于 70%的数据,有 1≤N≤1,000,1≤M≤10,000;
对于100%的数据,有1≤N≤100,000,1≤M≤10,000,-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000,
0≤X0≤1,000,000,000,1≤Si≤N,0≤Xi≤1,000,000,000,数据保证 Hi互不相同。
NOIP 2012 提高组 第一天 第三题
[b]题解:[/b]
[b]70分,直接n^2预处理,处理出每个点的次近和最近[/b]
[b]查询时直接n^2跑一遍[/b]
[b]100分,预处理需要用双向链表,方法如下[/b]
[b]首先按高度排序,记下编号,假设原来为id,排序后在i[/b]
[b]记pos[id]=i,与i最近次进的无非就是左左,右右,左右三种[/b]
[b]找到后修改左右端点的值,即L=a[i].l,R=a[i].r[/b]
[b]a[L].r=R,a[R].l=L;[/b]
[b]这样就O(n)求出每个点的最优次优值[/b]
[b]其实可以线段树,但是又慢又长[/b]
[b]然后因为询问数很多,所以旅行的过程用倍增[/b]
[b]这里将A走一次,B走一次缩为一次[/b]
[b]f[i][j]表示i点走2^j轮到的点[/b]
[b]A[i][j]表示i点走2^j轮A走的路[/b]
[b]B[i][j]同上[/b]
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long lol; struct Node { int L,R,id; lol h; }a[100001]; lol A[100001][19],B[100001][19]; int f[100001][19]; int n,pos[100001],First[100001],Second[100001],m; lol h[100001],suma,sumb,x0; double ans=2e9; int ansnum; bool cnmp(Node a,Node b) { return a.h<b.h; } int work(int p,int x,int y) { if (x==-1&&y==-1) return -1; else if (x==-1) return a[y].id; else if (y==-1) return a[x].id; else { if (a[p].h-a[x].h>a[y].h-a[p].h) return a[y].id; else return a[x].id; } } void Init_order() {int i; sort(a+1,a+n+1,cnmp); for (i=1;i<=n;i++) { pos[a[i].id]=i; a[i].R=i+1; a[i].L=i-1; } a[1].L=-1;a .R=-1; for (i=1;i<=n;i++) { int x=pos[i]; First[i]=work(x,a[x].L,a[x].R); if (First[i]==-1) Second[i]=-1; else if (First[i]==a[a[x].L].id) Second[i]=work(x,a[a[x].L].L,a[x].R); else Second[i]=work(x,a[x].L,a[a[x].R].R); int z=a[x].L;a[a[x].L].R=a[x].R;a[a[x].R].L=z; } } long long absx(long long x) { if (x>0) return x; else return -x; } int main() {int i,j,x; long long x1; // freopen("car.in","r",stdin); // freopen("car.out","w",stdout); cin>>n; for (i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&a[i].h); h[i]=a[i].h; a[i].id=i; } Init_order(); for (i=1;i<=n;i++) if (Second[i]!=-1) { if (First[Second[i]]!=-1) { f[i][0]=First[Second[i]]; A[i][0]=absx(h[Second[i]]-h[i]); B[i][0]=absx(h[First[Second[i]]]-h[Second[i]]); } else A[i][0]=absx(h[Second[i]]-h[i]); // cout<<'x'<<A[i][0]<<' '<<B[i][0]<<endl; } for (j=1;j<=17;j++) { for (i=1;i<=n;i++) { if (f[i][j-1]) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; A[i][j]=A[i][j-1]; if (f[i][j-1]) A[i][j]+=A[f[i][j-1]][j-1]; B[i][j]=B[i][j-1]; if (f[i][j-1]) B[i][j]+=B[f[i][j-1]][j-1]; // cout<<A[i][j]<<' '<<B[i][j]<<endl; } } cin>>x0; for (i=1;i<=n;i++) {int x=i; long long sum=x0; suma=0;sumb=0; for (j=17;j>=0;j--) if (f[x][j]&&A[x][j]+B[x][j]<=sum) { sum-=A[x][j]+B[x][j]; suma+=A[x][j]; sumb+=B[x][j]; x=f[x][j]; } if (A[x][0]!=0&&A[x][0]<=sum) { suma+=A[x][0]; } // cout<<suma<<' '<<sumb<<endl; if (sumb==0) continue; if (suma==0) continue; if ((double)suma/sumb<ans) { ansnum=i; ans=(double)suma/sumb; } else if ((double)suma/sumb==ans&&h[ansnum]<h[i]) { ansnum=i; } } cout<<ansnum<<endl; cin>>m; for (i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%lld",&x,&x1); long long sum=x1; suma=0;sumb=0; for (j=17;j>=0;j--) if (f[x][j]>0&&A[x][j]+B[x][j]<=sum) { sum-=A[x][j]+B[x][j]; suma+=A[x][j]; sumb+=B[x][j]; x=f[x][j]; } if (A[x][0]!=0&&A[x][0]<=sum) { suma+=A[x][0]; } printf("%lld %lld\n",suma,sumb); } }
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