埃氏筛法与欧拉筛法
2017-08-28 15:44
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埃氏筛法
埃氏筛法的基本的基本原理:假如要 求n以内的所有素数,就必须将根号n以内的所有素数的倍数全部筛掉。剩下的就是所求的结果。
首先明确一点素数的倍数都是合数。接下来讲一下为什么是求根号n以内的所有素数,而不是n以内的所有素数。
一个数总能表示成1个素数和一个数乘积的形式,例如n = a * b ,a是素数,b是另一个数,但是b不是1,这样的话,那就是一个合数,根据n = 根号n * 根号n,所以那个a和b中较小的素数不会超过根号n,所以只需求根n以内的所有素数即可
下面上代码:
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; const int N = 1000; int prime ; int a ;//用作标记 int main() { int sq,cnt = 0; memset(a,1,sizeof(a)); for(int i = 2;i <= N; ++i) { if(a[i]) { prime[cnt++] = i; } for(int j = i * i ; j <= N; j += i) // j从i×i,比从2 × i快一些 { a[j] = 0; } } for(int i = 0; i <= cnt;++i) { cout << prime[i] << endl; } return 0; }
但是这个算法也是有缺陷的,因为它会重复多次的对同一个数进行不必要的操作。例如 12 = 2 * 6, 同时 12 = 3 * 4 ,这样20就会被重复操作很多次,进而浪费了时间。现在要考虑如何避免对这样的数进行重复的操作,接下来就是讲解欧拉筛法,欧拉筛法就解决了这个问题。首先考虑为什么会对20这个数进行重复操作,因为当操作素数3时,倍数4又是素数2的倍数,这样就造成了重复,因此欧拉就想了个办法,把每个数全部表示成素数的形式,例如12 = 2 × 2 × 3,每次只筛分解后的最小的素数因子不能被其他已经确定的素数整除。
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int N = 1000; int prime ; int main() { memset(prime,0,sizeof(prime)); for(int i = 2; i <= N;++i) { if(!prime[i]) prime[++prime[0]] = i; for(int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= N; ++j) { prime[i * prime[j]] = 1; if(i % prime[j] == 0) break; } } for(int i = 1;i <= N;++i) { if(!prime[i]) cout << i << endl; } return 0; }
其实第一种算法还可以加一下优化,以为偶数肯定不是素数,可提前将其筛掉。
两种方法各有优缺点,但就做题而言,差别并不大。
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