codevs 2185 最长公共上升子序列

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codevs 2185 最长公共上升子序列
codevs 1408 最长公共子序列

题目描述 Description
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，
现在又让他们要研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个串A，B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数字，且数字是严格递增的，
那么称这一段数字是两个串的公共上升子串，而所有的公共上升子串中最长的就是最长公共上升子串了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子串。不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

输入描述 Input Description
第一行N，表示A，B的长度。
第二行，串A。
第三行，串B。

输出描述 Output Description
输出最长公共上升子序列的长度。

样例输入 Sample Input
4
2 2 1 3
2 1 2 3

样例输出 Sample Output
2

数据范围及提示 Data Size & Hint
1<=N<=3000，A，B中的数字不超过maxlongint

分类标签
动态规划

参考题解： http://blog.csdn.net/wall_f/article/details/8279733 https://wenku.baidu.com/view/3e78f223aaea998fcc220ea0.html 下载该文档

分析：

定义状态

F[i][j]表示以a串的前i个整数与b串的前j个整数且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。

状态转移方程：

①F[i][j] = F[i-1][j] (a[i] != b[j])

②F[i][j] = max(F[i-1][k]+1) (1 <= k <= j-1 && b[j] > b[k])

现在我们来说为什么会是这样的状态转移方程呢？

对于①，因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个整数a[k]等于b[j],因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。

对于②，前提是a[i] == b[j],我们需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]...b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]...a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。

朴素的LCIS算法实现

以Hdu 1423 Greatest Common Increasing Subsequence为例。

预处理：

1 void dp()
2 {
3     init();
4     for(int i = 1; i <= n; i++)
5     {
6         int MAX = 0;
7         for(int j = 1; j <= n; j++)
8         {
9             if(a[i] > b[j]) MAX = max(MAX, f[j]);
10             if(a[i] == b[j]) f[j] = MAX+1;
11         }
12     }
13     int ans = 0;
14     for(int j = 1; j <= m; j++) ans = max(ans, f[j]);
15     printf("%d\n", ans);
16 }

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如果是求最长公共下降子序列呢？很明显嘛，把状态定义改动一下，即f[i][j]表示以a串的前i个整数与b串的前j个整数且以b[j]为结尾构成的LCDS的长度，具体实现的时候只要把a[i] > b[j]改为a[i] < b[j]就可以啦。