数学笔记——导数1(导数的基本概念)
2017-08-28 11:49
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什么是导数
导数是高数中的重要概念,被应用于多种学科。从物理意义上讲,导数就是求解变化率的问题;从几何意义上讲,导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。
我们熟知的速度公式:v = s/t,这求解的是平均速度,实际上往往需要知道瞬时速度:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110106693-1085941371.png)
当t趋近于t0,即t-t0趋近于0时,得到的就是顺时速度。设Δt=t-t0,s是t的函数s=f(t),瞬时速度用数学表示就是:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110054881-1231691007.png)
为什么s=f(t)呢?请看下图:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110130756-1934052323.png)
将横轴作为距离,以时间为单位分隔,在t0时间经过的距离是f(t0)=S0,在t时间经过的距离是f(t)=s
在几何上,如下图所示:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110155287-396167582.png)
直线a与曲线相切于点Q,直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率,k=(y-y0)/(x-x0),当b以Q为轴心沿着曲线旋转时,铉长|PQ|趋近于0,即x->x0时,极限存在:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110218037-171654052.png)
有上述两个问题可以看出,变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110236787-615127441.png)
定义Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0),上面的公式可以写成:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110257553-420584237.png)
由此得出导数的概念,设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx->0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作f’(x0)
:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110340881-10867250.png)
也记作:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110409646-1575566555.png)
简写为:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110434068-355010954.png)
1/x求导
根据导数公式,代入f(x) = 1/x![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110541756-1590729565.png)
这就OK了,所以说导数很简单,因为它仅有一个公式,但没完,因为上式没有任何意义,仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式,对于所有求导,当Δx->0时,分母为0,所以必须将导数进一步简化。
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817113517568-1516524850.png)
需要注意的是,求f’(x)的完整说法是求f(x)在定义域某一点的导数,所以x是已知的,求某一点的导数,当然要知道这个点是什么。
求切线所在三角形的面积
如下图所示,直线MN是曲线1/x的切线,切点是(x0,y0),求S△MON![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110632459-1570552107.png)
S△MON = 1/2(MO * ON),已知条件是切点(x0,y0),需要求解的未知条件是MO和NO。
直线MN的公式是y=kx+b,根据上节的介绍,1/x在(x0,y0)的导数是MN的斜率 -1/x02,代入得:
y0=-1/x02 + b =>
1/x0 = (-1/x02) x0+ b =>
b = 2/x0
设N点的坐标是(x,0),代入y=kx+b得:
0=(-1/x02)x+2/x0
=> x = 2x0
即OM = 2x0
同理,MO=2y0
S△MON = 1/2(MO * ON) = 1/2(2x02y0) = 1/2(2x0)(2/x0) = 2
幂函数求导
f(x) = Xn的导数:f’(x) = nxn-1例:(3x6)’ = 3 * 6x6-1
= 18x5
该公式可以扩展到多项式中:
(3x3 + 6x10)' = 3 * 3x3-1
+ 6 * 10 x10-1 = 9x2 + 60x9
sin和cos求导
下面是sinx和cosx的去曲线图:![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110711818-2131647066.png)
sinx
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110727053-207965220.png)
cosx
sin0°= 0,sin90°= sin(π/2) = 1
求导时需要用到几个公式:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110801396-675787911.png)
1、2不解释,3、4后面会给出证明:
(sinx)’
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110843350-605964579.png)
(cosx)’
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110901162-533916013.png)
为什么会有公式3、4
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110940584-1905071689.png)
,需要从几何意义上证明。
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817110950646-1418147737.png)
上图是一个单位圆,将Δx用θ替换。由于单位圆r=1,弧长MN=(2πr ) (θ/360) = (2πr)(θ/2π) =θ。
公式3:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817152133396-677524336.png)
当θ趋近于0时,PN比弧长MN更快地趋近于0,所以公式3成立。
公式4:sinθ=MP/OM=MP. 当θ趋近于0时,MP越来越趋近与MN(趋近但不等于0),所以
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817152225568-1046308871.png)
总结
导数的物理意义:描述变化率,几何意义:切线的斜率导数公式:
![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1203675/201708/1203675-20170817160509318-251218163.png)
基本函数求导公式
1) (C)’ = 0
2) (1/x)’ = -1/x2
3) (xn)’ = nxn-1
4) (sinx)’ = cosx
5) (cosx)’=-sinx
作者:我是8位的
出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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