题目17：单调递增最长子序列

题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=17

描述

求一个字符串的最长递增子序列的长度

如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4

输入

第一行一个整数n,表示有n个字符串要处理

随后的n行，每行有一个字符串，该字符串的长度不会超过10000

输出

输出字符串的最长递增子序列的长度

样例输入

3

aaa

ababc

abklmncdefg

样例输出

1

3

7

算法思想：动态规划思想。使用一个数组dp来记录最长单调递增子序列的长度。一次大的循环遍历，在求当前元素的最长单调递增子序列时，去循环遍历之前已经填写好的数组，当当前元素str[i]>str[k]时，判断dp[k] + 1 > dp[i]是否成立，如果是，则更新dp[i]。递归方程如下所示：



其中，c[i]代表的是第i个元素的单调递增子序列的长度，a[i]代表的是字符序列的第i个元素。

源代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
using namespace std;
int dp[10001];
int main()
{
int n;
string str;
cin >> n;
while (n--)
{
cin >> str;
memset(dp, 0, 10001);
/*动态规划填写备忘录过程*/
for (int i = 0; i < str.size(); i++)
{
for (int k = 0; k < i; k++)
{
if (str[i] > str[k] && dp[k] + 1 > dp[i])
{
//  cout << str[i] << ">" << str[k] << endl;
dp[i] = dp[k] + 1;
}
}
}
int max = 0;
//输出备忘录中最大值，也就是单调递增最长子序列的长度。
for (int i = 0; i < str.size(); i++)
{
//  cout << dp[i] << " ";
if (max < dp[i])
max = dp[i];
}
//cout << endl;
cout << max + 1 << endl;
}
return 0;
}

算法时间复杂度： 分析代码可知，该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为输入字符串的长度。该时间复杂度与输入长度有关，当输入长度很大时，容易超时。

最优代码 （非本人所写代码）

#include<stdio.h>
int length(char * s)
{
int len[128] = {0}, i, t;
for(; *s != '\0' && (t = len[*s - 1] + 1); s++)
for(i = *s; i < 128 && len[i] < t; len[i++] = t);
return len[127];
}
int main()
{
int n;
char s[10001];
for(scanf("%d\n", &n); n--;)
printf("%d\n", length(gets(s)));
return 0;
}

最优算法的算法思想： 也是动态规划，填写备忘录。唯一的优化是根据ASCII值来进行循环，这样就大大减少了循环的次数。