2017 理数全国卷IIIT21

首语

　　今天我要杀鸡（数学题题解），杀鸡当然要用牛刀（LaTeX）了。

　　其实就是好久没打字了来爽一爽。

原题

　　已知函数f(x)=x−1−alnx.

　　(1)　若f(x)≥0，求a.

　　(2)　设m为正整数，且对于任意正整数n，∏ni=1(1+12i)<m，求m的最小值.

题解

　　第一问，一开始用错误的方法做对了。

　　很显然f(1)=0，若要求这个函数恒大于0，我把它错误的等价为小于0时减，大于0时增，结果恰好做对了。。。

　　正确方法应该是这样的：

　　求导f′(x)=1−ax

　　令f′(x)<0得0<x<a，

　　令f′(x)>0得x>a

　　因为定义域是x>0，所以x>a是显然合法的；这时需要讨论0和a的大小。

　　若a≤0，则在定义域内f′(x)≥0恒成立，这时位于x=1左侧的函数值就小于0了，显然这种情况应该舍去，即a必定大于0。

　　由于a>0，所以当0<a<0时f(x)单调递减，当x>a时f(x)单调增，即f(a)是最小值。

　　它要求恒大于等于0，即f(x)min=f(a)≥0。

　　到了这里不要想当然地去解，注意到f(1)=0，既然函数上已经存在一个值等于0的点，又要求这个函数恒大于0，这个函数又是v字形，结合以上，显然就可以知道a=1。

　　所以第一问就可以显然出来a=1。

　　第二问，不会做，看的答案。

　　一眼看上去，和第一问没啥关系。。。笨蛋的我就是这么想的

　　其实，用上第一问的结论就很容易做了。

　　看到要证的东西是一些乘积，要让它小于一个定值。

　　之前做过很多题目，让你证明一个和式小于某个常数。这种题目大多是构造等比数列，用上求和公式，有时候还需要放缩放缩啥的。

　　是这样的，连乘想要转化成和式，有一个比较高级的套路，就是取log，哇好高级啊。

　　取了log之后变成这个样子，为了后面方便就取自然对数吧。

　　∑i=1nln(1+12n)<lnm

　　做到这里我就不会了。

　　答案上是这个样子：

　　令x=(1+12n)，则(1)中的式子变成12n−ln(1+12n)≥0。

　　一变形：

　　ln(1+12n)≤12n

　　就出来了。

　　后面就不用说了，就是从n=1开始写出一大串式子来，中间用省略号，一直排到n个不等式。

　　将这n个不等式相加，得到

　　∑i=1nln(1+12n)≤1−12n

　　也就是说对于任意的n∈N+，都有1−12n≤lnm。

　　即m≥e，因为m是整数，所以m应当取3。

　　这一问的答案是mmin=3。

其它

　　其实吧，我个人觉得第二问有点牵强，答案中m=3确实有理有据，但是答案中并没有证明m更小的时候不行。

　　当m=2时，令n=3，左边=13564>m。

　　当m=1时，令n=1，左边=32>m。

　　这样就OK了。