动态规划——最少硬币问题
2017-08-23 22:35
232 查看
如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚,如何用最少的硬币凑够11元?
(表面上这道题可以用贪心算法,但贪心算法无法保证可以求出解,比如1元换成2元的时候)
首先我们思考一个问题,如何用最少的硬币凑够i元(i<11)?
为什么要这么问呢?
两个原因:
1.当我们遇到一个大问题时,总是习惯把问题的规模变小,这样便于分析讨论。
2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的,除了规模变小,其它的都是一样的,本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。
好了,让我们从最小的i开始吧。
当i=0,即我们需要多少个硬币来凑够0元。由于1,3,5都大于0,即没有比0小的币值,因此凑够0元我们最少需要0个硬币。 (这个分析很傻是不是?别着急,这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。)这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。”会比较方便,如果一直用纯文字来表述,不出一会儿你就会觉得很绕了。那么,我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0,表示凑够0元最小需要0个硬币。
当i=1时,只有面值为1元的硬币可用,因此我们拿起一个面值为1的硬币,接下来只需要凑够0元即可,而这个是已经知道答案的,即d(0)=0。所以,d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。
当i=2时,仍然只有面值为1的硬币可用,于是我拿起一个面值为1的硬币,接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量),而这个答案也已经知道了。所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到这里,你都可能会觉得,好无聊,感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币!耐心点,让我们看看i=3时的情况。
当i=3时,我们能用的硬币就有两种了:1元的和3元的( 5元的仍然没用,因为你需要凑的数目是3元!5元太多了亲)。既然能用的硬币有两种,我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币,我的目标就变为了:凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。这个方案说的是,我拿3个1元的硬币;第二种方案是我拿起一个3元的硬币,我的目标就变成:凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是,我拿1个3元的硬币。好了,这两种方案哪种更优呢?记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以,选择d(3)=1,怎么来的呢?具体是这样得到的:d(3)=min{d(3-1)+1,
d(3-3)+1}。
(表面上这道题可以用贪心算法,但贪心算法无法保证可以求出解,比如1元换成2元的时候)
首先我们思考一个问题,如何用最少的硬币凑够i元(i<11)?
为什么要这么问呢?
两个原因:
1.当我们遇到一个大问题时,总是习惯把问题的规模变小,这样便于分析讨论。
2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的,除了规模变小,其它的都是一样的,本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。
好了,让我们从最小的i开始吧。
当i=0,即我们需要多少个硬币来凑够0元。由于1,3,5都大于0,即没有比0小的币值,因此凑够0元我们最少需要0个硬币。 (这个分析很傻是不是?别着急,这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。)这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。”会比较方便,如果一直用纯文字来表述,不出一会儿你就会觉得很绕了。那么,我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0,表示凑够0元最小需要0个硬币。
当i=1时,只有面值为1元的硬币可用,因此我们拿起一个面值为1的硬币,接下来只需要凑够0元即可,而这个是已经知道答案的,即d(0)=0。所以,d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。
当i=2时,仍然只有面值为1的硬币可用,于是我拿起一个面值为1的硬币,接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量),而这个答案也已经知道了。所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到这里,你都可能会觉得,好无聊,感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币!耐心点,让我们看看i=3时的情况。
当i=3时,我们能用的硬币就有两种了:1元的和3元的( 5元的仍然没用,因为你需要凑的数目是3元!5元太多了亲)。既然能用的硬币有两种,我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币,我的目标就变为了:凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。这个方案说的是,我拿3个1元的硬币;第二种方案是我拿起一个3元的硬币,我的目标就变成:凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是,我拿1个3元的硬币。好了,这两种方案哪种更优呢?记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以,选择d(3)=1,怎么来的呢?具体是这样得到的:d(3)=min{d(3-1)+1,
d(3-3)+1}。
#include <iostream> using namespace std; int coin[3] = { 5, 3, 1 }; int func(int num) { int *d = new int[num + 1]; d[0] = 0; for (int i = 1; i <= num; ++i) { d[i] = i; for (int j = 0; j < 3; ++j) { if (coin[j] <= i && d[i - coin[j]] + 1 < d[i]) { d[i] = d[i - coin[j]] + 1; } } } return d[num]; } int main() { int n; while (cin >> n) cout << func(n) << endl; return 0; }
相关文章推荐