单源最短路径之迪杰斯特拉算法（C语言）

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法

采用广度优先搜索思想，对有向赋权图寻找最短路径。

该算法对于不含负权的有向图来说，是目前已知的最快的单源最短路径算法。

时间复杂度：O（n^2）

基本原理：不断为为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径



上图为戴克斯特拉算法应用示意图。

起点以左下角的红点，目标是右上角的绿点，中间灰色的倒L型为障碍物。蓝色空圈表示”暂定”，用以搜索下一步；已经填充颜色的表示探访过，图中颜色以红到绿，越绿表示离起点越远。所有节点都被均匀的探索。

我们以下图为例：



假设以“1”为顶点出发，求解到每个顶点的最短路径，若可达，则输出最短路径；若不可达，则输出无穷大（32767）

shortest(1, 2)=2



shortest(1, 3)=4



shortest(1, 4)=5

注：经对比，第二种路径得到的权值和较小，取第二种方式





shortest(1, 5)=2



算法如下：

void dijkstra(AdjMatrix *G)
{
int i,j;
int min,minid;
int tmp;
int vs;
int prev[MAX] = {0};
int dist[MAX] = {0};
int visited[MAX];      // visited[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。

// 初始化
printf("请输入要查询的单源顶点");

4000
scanf("%d",&vs);
vs-=1;
for (i = 0; i < G->numV; i++)
{
visited[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
dist[i] = G->Edge[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
}
// 对"顶点vs"进行初始化
visited[vs] = 1;//将顶点vs加入最短路径，对应的visited[i]置为1
dist[vs] = 0;//到自己的权为0

// 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
for (i = 1; i < G->numV; i++)
{
// 寻找当前最小的路径；
// 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(minid)。
min = INF;
for (j = 0; j < G->numV; j++)
{
if (visited[j]==0 && dist[j]<min)
{
min = dist[j];
minid = j;
}
}
visited[minid] = 1;// 标记"顶点minid"为已经获取到最短路径

// 更新当前最短路径和前驱顶点
// 即，当已经"顶点minid的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
for (j = 0; j < G->numV; j++)
{
tmp = (G->Edge[minid][j]==INF ? INF : (min + G->Edge[minid][j]));// 防止溢出

if (visited[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = minid;
}
}
}

// 打印dijkstra最短路径的结果
printf("dijkstra(%c): \n", G->Vertices[vs]);
for (i = 0; i < G->numV; i++)
printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G->Vertices[vs], G->Vertices[i], dist[i]);
}

具体代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MaxVertices 100 //假设包含100个顶点
#define MaxWeight 32767 //不邻接时为32767，但输出时用 "∞"
#define MAX 100
#define INF         (~(0x1<<31))
typedef struct{ //包含权的邻接矩阵的的定义
char Vertices[MaxVertices];  //顶点信息的数组
int Edge[MaxVertices][MaxVertices]; //边的权信息的数组
int numV; //当前的顶点数
int numE; //当前的边数
}AdjMatrix;

void CreateGraph(AdjMatrix *G) //图的生成函数
{
int n,e,vi,vj,w,i,j;
printf("请输入图的顶点数和边数（以空格分隔）：");
scanf("%d%d",&n,&e);
G->numV=n;G->numE=e;
for(i=0;i<n;i++) //图的初始化
for(j=0;j<n;j++)
{
if(i==j)
G->Edge[i][j]=0;
else
G->Edge[i][j]=32767;
}
for(i=0;i<n;i++)
for(i=0;i<G->numV;i++) //将顶点存入数组中
{
printf("请输入第%d个顶点的信息(整型):",i+1);
// G->adjlist[i].vertex=getchar();
scanf(" %c",&G->Vertices[i]);
}
printf("\n");

for(i=0;i<G->numE;i++)
{
printf("请输入边的信息i,j,w(以空格分隔):");
scanf("%d%d%d",&vi,&vj,&w);
//若为不带权值的图，则w输入1
//若为带权值的图，则w输入对应权值

G->Edge[vi-1][vj-1]=w;//①
//G->Edge[vj-1][vi-1]=w;//②
//无向图具有对称性的规律，通过①②实现
//有向图不具备此性质，所以只需要①
}
}
void DispGraph(AdjMatrix G) //输出邻接矩阵的信息
{
int i,j;
printf("\n输出顶点的信息（整型）:\n");
for(i=0;i<G.numV;i++)
printf("%8c",G.Vertices[i]);

printf("\n输出邻接矩阵:\n");
printf("\t");
for(i=0;i<G.numV;i++)
printf("%8c",G.Vertices[i]);

for(i=0;i<G.numV;i++)
{
printf("\n%8d",i+1);
for(j=0;j<G.numV;j++)
{
if(G.Edge[i][j]==32767)
//两点之间无连接时权值为默认的32767，但输出时为了方便输出 "∞"
printf("%8s", "∞");
else
printf("%8d",G.Edge[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
void dijkstra(AdjMatrix *G)
{
int i,j;
int min,minid;
int tmp;
int vs;
int prev[MAX] = {0};
int dist[MAX] = {0};
int visited[MAX];      // visited[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。

// 初始化
printf("请输入要查询的单源顶点");
scanf("%d",&vs);
vs-=1;
for (i = 0; i < G->numV; i++)
{
visited[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
dist[i] = G->Edge[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
}
// 对"顶点vs"进行初始化
visited[vs] = 1;//将顶点vs加入最短路径，对应的visited[i]置为1
dist[vs] = 0;//到自己的权为0

// 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
for (i = 1; i < G->numV; i++)
{
// 寻找当前最小的路径；
// 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(minid)。
min = INF;
for (j = 0; j < G->numV; j++)
{
if (visited[j]==0 && dist[j]<min)
{
min = dist[j];
minid = j;
}
}
visited[minid] = 1;// 标记"顶点minid"为已经获取到最短路径

// 更新当前最短路径和前驱顶点
// 即，当已经"顶点minid的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
for (j = 0; j < G->numV; j++)
{
tmp = (G->Edge[minid][j]==INF ? INF : (min + G->Edge[minid][j]));// 防止溢出

if (visited[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = minid;
}
}
}

// 打印dijkstra最短路径的结果
printf("dijkstra(%c): \n", G->Vertices[vs]);
for (i = 0; i < G->numV; i++)
printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G->Vertices[vs], G->Vertices[i], dist[i]);
}
int main()
{
AdjMatrix G;
freopen("1.txt","r",stdin);
CreateGraph(&G);
dijkstra(&G);
DispGraph(G);

}

注：该算法是在邻接矩阵的基础上完成的，请参照邻接矩阵（C语言）

注：由于测试输入数据较多，程序可以采用文件输入

5 7

1

2

3

4

5

1 2 2

1 3 4

1 5 2

2 3 1

2 4 6

3 4 2

4 5 3

2