Polynomial Regression 多项式回归

#!/usr/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression, RidgeCV, LassoCV, ElasticNetCV
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.pipeline import Pipeline
import matplotlib as mpl
import warnings

def xss(y, y_hat):
y = y.ravel()
y_hat = y_hat.ravel()
# Version 1
tss = ((y - np.average(y)) ** 2).sum()
rss = ((y_hat - y) ** 2).sum()
ess = ((y_hat - np.average(y)) ** 2).sum()
r2 = 1 - rss / tss
# print 'RSS:', rss, '\t ESS:', ess
# print 'TSS:', tss, 'RSS + ESS = ', rss + ess
tss_list.append(tss)
rss_list.append(rss)
ess_list.append(ess)
ess_rss_list.append(rss + ess)
# Version 2
# tss = np.var(y)
# rss = np.average((y_hat - y) ** 2)
# r2 = 1 - rss / tss
corr_coef = np.corrcoef(y, y_hat)[0, 1]
return r2, corr_coef

if __name__ == "__main__":
warnings.filterwarnings("ignore")  # ConvergenceWarning
np.random.seed(0)
np.set_printoptions(linewidth=1000)
N = 9
x = np.linspace(0, 6, N) + np.random.randn(N)
x = np.sort(x)
y = x ** 2 - 4 * x - 3 + np.random.randn(N)
x.shape = -1, 1
y.shape = -1, 1

print
'--'
# 形如 1.00000000e+02  表示1.000*10^2 即1.00乘以10的2次幂
print
np.logspace(-3, 2, 5)
print
np.logspace(-2, 9, 5)
print
np.logspace(0, 0, 5)
print
np.logspace(0, 1, 5)
print
'--'

# 线性回归的目的是要得到输出向量Y和输入特征X之间的线性关系,求出线性回归系数θ，也就是Y=Xθ,
# 其中Y的维度为mx1,X的维度为mxn，而θ的维度为nx1,m代表样本个数,n代表样本特征的维度

# 损失函数:损失函数是用来评价模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度,它是一个非负实值函数 通常用L(Y,f(x))表示,损失函数越小,模型的性能就越好
# 正则化项:为了防止损失函数过拟合的问题，一般会在损失函数中加上正则化项,增加模型的泛化能力
models = [Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures()),
# 损失函数:J(θ)=1/2(Xθ−Y)T(Xθ−Y) 优化方法：梯度下降和最小二乘法,scikit中采用最小二乘
# 使用场景:只要数据线性相关，LinearRegression是我们的首选,如果发现拟合或者预测的不够好，再考虑其他的线性回归库
('linear', LinearRegression(fit_intercept=False))]),
# Ridge回归(岭回归)损失函数的表达形式：J(θ)=1/2(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+1/2α||θ||22(线性回归LineaRegression的损失函数+L2（2范式的正则化项）)
# a为超参数 alphas=np.logspace(-3, 2, 50) 从给定的超参数a中选择一个最优的,logspace用于创建等比数列 本例中 开始点为10的-3次幂,结束点10的2次幂,元素个数为
# 50,并且从这50个数中选择一个最优的超参数
# linspace创建等差数列
# Ridge回归中超参数a和回归系数θ的关系,a越大，正则项惩罚的就越厉害，得到的回归系数θ就越小,最终趋近与0
# 如果a越小,即正则化项越小，那么回归系数θ就越来越接近于普通的线性回归系数

# 使用场景:只要数据线性相关，用LinearRegression拟合的不是很好，需要正则化，可以考虑使用RidgeCV回归,
# 如何输入特征的维度很高,而且是稀疏线性关系的话， RidgeCV就不太合适,考虑使用Lasso回归类家族
Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures()),
('linear', RidgeCV(alphas=np.logspace(-3, 2, 50), fit_intercept=False))]),
Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures()),
# 损失函数:J(θ)=1/2m(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+α||θ||1 线性回归LineaRegression的损失函数+L1（1范式的正则化项）)
# Lasso回归可以使得一些特征的系数变小,甚至还使一些绝对值较小的系数直接变为0，从而增强模型的泛化能力
# 使用场景:对于高纬的特征数据,尤其是线性关系是
7fe0
稀疏的，就采用Lasso回归,或者是要在一堆特征里面找出主要的特征，那么
# Lasso回归更是首选了
('linear', LassoCV(alphas=np.logspace(-3, 2, 50), fit_intercept=False))]),
Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures()),
# 损失函数：J(θ)=1/2m(Xθ−Y)T(Xθ−Y)+αρ||θ||1+α(1−ρ)/2||θ||22  其中α为正则化超参数，ρ为范数权重超参数
# alphas=np.logspace(-3, 2, 50), l1_ratio=[.1, .5, .7, .9, .95, .99, 1] ElasticNetCV会从中选出最优的 a和p
# ElasticNetCV类对超参数a和p使用交叉验证，帮助我们选择合适的a和p
# 使用场景:ElasticNetCV类在我们发现用Lasso回归太过(太多特征被稀疏为0),而Ridge回归也正则化的不够(回归系数衰减太慢)的时候
('linear', ElasticNetCV(alphas=np.logspace(-3, 2, 50), l1_ratio=[.1, .5, .7, .9, .95, .99, 1],
fit_intercept=False))])
]
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'simHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
np.set_printoptions(suppress=True)
plt.figure(figsize=(18, 12), facecolor='w')
d_pool = np.arange(1, N, 1)  # 阶
m = d_pool.size
clrs = []  # 颜色
for c in np.linspace(16711680, 255, m):
clrs.append('#%06x' % int(c))
line_width = np.linspace(5, 2, m)
titles = u'线性回归', u'Ridge回归', u'LASSO', u'ElasticNet'
tss_list = []
rss_list = []
ess_list = []
ess_rss_list = []
for t in range(4):
model = models[t]
plt.subplot(2, 2, t + 1)
plt.plot(x, y, 'ro', ms=10, zorder=N)
for i, d in enumerate(d_pool):
model.set_params(poly__degree=d)
model.fit(x, y.ravel())
lin = model.get_params('linear')['linear']
output = u'%s：%d阶，系数为：' % (titles[t], d)
if hasattr(lin, 'alpha_'):
idx = output.find(u'系数')
output = output[:idx] + (u'alpha=%.6f，' % lin.alpha_) + output[idx:]
if hasattr(lin, 'l1_ratio_'):  # 根据交叉验证结果，从输入l1_ratio(list)中选择的最优l1_ratio_(float)
idx = output.find(u'系数')
output = output[:idx] + (u'l1_ratio=%.6f，' % lin.l1_ratio_) + output[idx:]
print
output, lin.coef_.ravel()
x_hat = np.linspace(x.min(), x.max(), num=100)
x_hat.shape = -1, 1
y_hat = model.predict(x_hat)
s = model.score(x, y)
r2, corr_coef = xss(y, model.predict(x))
# print 'R2和相关系数：', r2, corr_coef
# print 'R2：', s, '\n'
z = N - 1 if (d == 2) else 0
label = u'%d阶，$R^2$=%.3f' % (d, s)
if hasattr(lin, 'l1_ratio_'):
label += u'，L1 ratio=%.2f' % lin.l1_ratio_
plt.plot(x_hat, y_hat, color=clrs[i], lw=line_width[i], alpha=0.75, label=label, zorder=z)
plt.legend(loc='upper left')
plt.grid(True)
plt.title(titles[t], fontsize=18)
plt.xlabel('X', fontsize=16)
plt.ylabel('Y', fontsize=16)
plt.tight_layout(1, rect=(0, 0, 1, 0.95))
plt.suptitle(u'多项式曲线拟合比较', fontsize=22)
plt.show()

y_max = max(max(tss_list), max(ess_rss_list)) * 1.05
plt.figure(figsize=(9, 7), facecolor='w')
t = np.arange(len(tss_list))
plt.plot(t, tss_list, 'ro-', lw=2, label=u'TSS(Total Sum of Squares)')
plt.plot(t, ess_list, 'mo-', lw=1, label=u'ESS(Explained Sum of Squares)')
plt.plot(t, rss_list, 'bo-', lw=1, label=u'RSS(Residual Sum of Squares)')
plt.plot(t, ess_rss_list, 'go-', lw=2, label=u'ESS+RSS')
plt.ylim((0, y_max))
plt.legend(loc='center right')
plt.xlabel(u'实验：线性回归/Ridge/LASSO/Elastic Net', fontsize=15)
plt.ylabel(u'XSS值', fontsize=15)
plt.title(u'总平方和TSS=？', fontsize=18)
plt.grid(True)
plt.show()