LeetCode No.96 Unique Binary Search Trees

题目：给定一个数n，那么我们可以生成多少种结构唯一的二叉搜索树（包含全部的1~n）呢？

例子：n = 3，那么应该有5种BST，如下所示：

   1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

思路：我们知道BST的特点是对于其中的任一个节点，其左子节点的值一定小于它，右子节点的值一定大于它；

假如n = 3，当以1为根节点时，2和3生成的子树只能在1的右侧，2和3一共可以生成两种BST，那么对于根节点是1的情况来讲，一共可以生成 1 * 2 种BST；同理，当以2为根节点时，一共可以生成 1 * 1 种BST，以3为根节点时，一共可以生成 2 * 1 种BST，所以一共是2 + 1 + 2 = 5种BST；根据这个思路，我们不难想出一个递归的算法，但是这种递归的算法会产生很多次重复的计算，这些计算是没有必要进行的，我们可以使用动态规划的方法，将这些计算结果保存下来；

算法：我们首先创建一个长度为n + 1的数组arr，其中arr[i]代表n = i时可以生成多少种BST，而我们在后面的计算中，就可以利用前面已经得到的结果。

比如，n = 4时，可以分为这样几种情况：

1为根节点，则左有0个节点，右有3个节点，一共就有arr[0] * arr[3]种BST；

2为根节点，则左有1个节点，右有2个节点，一共就有arr[1] * arr[2]种BST；

3为根节点，则左有2个节点，右有1个节点，一共就有arr[2] * arr[1]种BST；

4为根节点，则左有3个节点，右有0个节点，一共就有arr[3] * arr[0]种BST；

将以上这些所有的结果加起来就是n = 4时的结果！

代码如下：

class Solution {
public:
int numTrees(int n)
{
//arr[i]代表当n为i时，一共可以生成多少种BST
//当n为0和1时，都只有一种BST，所以我们的数组初始化为{1,1,0,0...0}
int arr[n + 1] = {1, 1};

//能生成多少种BST取决于其左右子树种数之积
for(int i = 2; i <= n; ++i)
for(int j = 0; j < i; ++j)
//arr[j]代表左子树有多少种，arr[i - j - 1]代表右子树有多少种
arr[i] += arr[j] * arr[i - j - 1];

return arr
;
}
};
运行结果：