FZUOJ 2282 Wand

错排问题

定义：考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。

n个元素的错排数记为Dn。

例：伯努利-欧拉的装错信封问题，n封信装到n个不同信封，有多少种装错的情况？

四人各写一张贺年卡互相赠送，自己写的贺年卡不能送给自己，有多少种赠送方法？

递推式：D1 = 0，D2 = 1, 当n>=3时，考虑第n个数放在了第k位上(1<=k<=n-1)，考虑第n位的情况。

当k排在第n位时，余下n-2个数进行错排，Dn-2.

当k不在第n位时，此时n已经排定了，假设k是新的n，他不能排在第n位，问题变成了n-1个数进行错排。

Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)

这题k比较小，可以从k枚举。注意最终结果要大于零。

#ifdef _DEBUG
#pragma warning(disable : 4996)
#endif
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <set>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <sstream>
#include <utility>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cctype>
#define CLEAR(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define CLOSE() ios::sync_with_stdio(false)
#define IN() freopen("in.txt", "r", stdin)
#define OUT() freopen("out.txt", "w", stdout)
#define PF(a) printf("%d\n", a)
#define SF(a) scanf("%d", &a)
#define SFF(a, b) scanf("%d%d", &a, &b)
#define SFFF(a, b, c) scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)
#define FOR(i, a, b) for(int i = a; i < b; ++i)
#define LL long long
#define maxn 10005
#define maxm 10000010
#define MOD  1000000007
#define INF 10000000
#define EPS 1e-6
using namespace std;
//-------------------------CHC------------------------------//
LL A[maxn], D[maxn], Ar[maxn];

LL qpow(LL a, LL b) {
LL ret = 1;
while (b) {
if (b & 1) ret = ret * a % MOD;
a = a * a %MOD;
b >>= 1;
}
return ret;
}

LL C(int n, int m) {
return A
* Ar[m] % MOD*Ar[n - m] % MOD;
}

void pre() {
Ar[0] = Ar[1] = A[0] = A[1] = 1;
FOR(i, 2, maxn) A[i] = A[i - 1] * i, A[i] %= MOD, Ar[i] = qpow(A[i], MOD-2);
D[1] = 0, D[2] = 1;
FOR(i, 3, maxn) D[i] = (i - 1)*(D[i - 1] + D[i - 2]) % MOD;
}

int main() {
int T;
pre();
SF(T);
while (T--) {
int n, k;
SFF(n, k);
LL ans = A
;
FOR(i, 0, k) {
ans -= C(n, i) * D[n - i]%MOD;
ans %= MOD;
}
ans = (ans + MOD) % MOD;
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}