51nod 1597 有限背包计数问题 dp

题意

你有一个大小为n的背包，你有n种物品，第i种物品的大小为i，且有i个，求装满这个背包的方案数有多少

两种方案不同当且仅当存在至少一个数i满足第i种物品使用的数量不同

1<=n<=10^5，答案对23333333取模

分析

设lim=sqrt(n)，我们把所有物品按照大于lim和不大于lim分成两部分。对于大于lim的部分，显然每种物品是一定用不完的，且在这部分所选物品数量一定不会超过lim。

那么我们可以对大于lim的部分进行dp，设g[i,j]表示我选了i种物品，和为j的方案数。转移为g[i,j]=g[i-1,j-lim-1]+g[i,j-i]。

再对不大于lim的部分进行dp，设f[i,j]表示前i种物品中选了若干种其和为j的方案数。转移的时候可以用类似单调队列优化多重背包的方法来优化。

最后统计答案即可，

时间复杂度O(nn√)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=100005;
const int MOD=23333333;

int n,lim,f[2]
,g[2]
,s
;

int main()
{
scanf("%d",&n);
lim=sqrt(n);
g[0][0]=1;s[0]++;
int now=0;
for (int j=1;j<=lim;j++)
{
now=1-now;
memset(g[now],0,sizeof(g[now]));
for (int i=lim+1;i<=n;i++)
g[now][i]=(g[now][i-j]+g[now^1][i-lim-1])%MOD,(s[i]+=g[now][i])%=MOD;
}
f[0][0]=1;
now=0;
for (int i=1;i<=lim;i++)
{
now=1-now;
for (int j=0;j<i;j++)
{
int s=0;
for (int k=j;k<=n;k+=i)
{
(s+=f[now^1][k])%=MOD;
if (k-i*i-i>=0) s=(s-f[now^1][k-i*i-i]+MOD)%MOD;
f[now][k]=s;
}
}
}
int ans=0;
for (int i=0;i<=n;i++) (ans+=(LL)f[now][i]*s[n-i]%MOD)%=MOD;
printf("%d",ans);
return 0;
}