KMP字符串匹配算法

【问题】给定两个字符串S和T，在主串S中查找子串T，如果找到就返回匹配的起始位置下标

【问题分析】

首先，比较暴力的方法是，同时遍历S和T，如果某个位置的匹配不成功，那么就回溯，字符串S回溯到上一次起始位置后一个，字符串T回溯到0位置。示意图如下：

S：abcabcacb

T：abcac

第一趟匹配，i=4,j=4时失败，i回溯到1，j回溯到0

0	1	2	3	4	5	6	7	8
a	b	c	a	b	c	a	c	b
↓	↓	↓	不匹配
a	b	c	a	c

第二趟匹配，i=1,j=0匹配失败，i回溯到2，j回溯到0

0	1	2	3	4	5	6	7	8
a	b	c	a	b	c	a	c	b
	不匹配
	a

第三趟匹配，i=2,j=0失败，i回溯到3，j回溯到0

0	1	2	3	4	5	6	7	8
a	b	c	a	b	c	a	c	b
		不匹配
		a

第四趟匹配，i=8,j=5，T中字符全部比较完毕，匹配成功

4000

0	1	2	3	4	5	6	7	8
a	b	c	a	b	c	a	c	b
			↓	↓	↓	↓	↓
			a	b	c	a	c

这是最简单的思路，但是问题是，两个字符串都要回溯，直接导致复杂度太高，时间复杂度是O(n*m)。这个算法叫朴素的模式匹配算法，简称BF算法。这个代码就不贴了，比较简单。

下面就是KMP算法的思路了。

在KMP算法中，我们只需遍历字符串S，而不需要回溯，需要回溯的是字符串T，这样大大降低时间复杂度。



这是上面的两个字符串，可以看到当 i =3, j =3时，匹配失败，但是在这个时候， i 位置前面的 j 个数，S 和 T都是匹配成功的，所以我们没有必要再匹配这一段，因此指向 S 的 i 不动，j 回溯。我们假设 j 回溯到位置 k 。位置 k 由 j 位置的 next 值 next[j] 决定。

next值指什么？就是指在 j 位置前面不含 j 的最长前缀和最长后缀相等的长度。最长前缀指从0到 j-2 位置的而且必须以0开头的子数组，最长后缀就是从1到 j-1位置而且必须以j-1结尾的子数组。

KMP算法的关键部分就在于next数组，也有很多人不理解Next数组到底是怎么算出来的，下面画图为例。



首先我们规定，next[0]=-1,next[1]=0。因为0位置前面没有任何字符，所以是-1，1位置前面不满足前缀后缀成立的条件即前缀右边界小于后缀右边界，前缀左边界小于右缀左边界，所以是0。

由上图可知next[k]=b+1，此时我们要求出next[k+1]。

我们比较T[b+1]和T[k]是否相等，如果相等，那么next[k+1]=next[k]+1。当在K位置时，因为0~b是k的最长前缀，图中间的红线到k-1是最长后缀，如果b+1位置跟k位置相等，那么最长前缀长度就增加了1，由于最长后缀右边界是k，所以k+1的最长前缀和最长后缀长度就是next[k]+1。

如果不相等呢？关键的地方来了。



那就跳到0~next[k]的区域，比较 b+1 位置的字符与 k 位置的字符是否相等，若相等就next[k+1]=next[b+1]+1。可能有人会有疑惑为什么直接+1。因为我们是选取的0~b+1部分，由于0~b与k-1-b~k-1相同，所以0~a对应的后缀就是k-1-a~k-1。他们右边界都往后移一位而且都相同，因此next[k+1]=next[b+1]+1。如果b+1位置字符与k位置字符还是不相等，就继续跳到前缀找前缀，直至next值为-1或者相等，如果Next值为-1，那么就给next[k+1]赋值0，因为这时已经找不到最长前缀了。

以上就是如何计算短字符串T对应的next数组。

得到了Next数组，就可以开始KPM算法的流程了：

如果S[i]==T[j]，继续比较后面的字符

否则，将下标j回溯到next[j]位置

如果j==-1， i 和 j 均右移一位，进行下一趟比较

如果T中所有字符都比较完毕，则返回本趟匹配的开始位置，否则返回0。

代码如下：

public class Main {
public static void main(String[] args) {
String strshort = "ababa";
String strlong = "abcabcababaccc";
System.out.println(KMP(strshort.toCharArray(), strlong.toCharArray()));
}

/* KMP算法 */
public static int KMP(char[] chs1, char[] chs2) {
int l = 0;
int[] next = getNextArray(chs1);
int s = 0;
while (l < chs2.length && s < chs1.length) {
if (chs1[s] == chs2[l]) {
s++;
l++;

} else {
s = next[s];
if (s == -1) {
l++;
s++;
}
}

}
if (s == chs1.length)
return l - s;
else
return -1;
}

/* 短字符串的next数组 */
public static int[] getNextArray(char[] chs) {
if (chs.length == 1)
return new int[] { -1 };
int[] next = new int[chs.length];
next[0] = -1;
next[1] = 0;
int pos = 2;
int pre = 0;// pos位置前一个字符(pos-1)的next值，也就是最长前缀的长度,对应的最长前缀的右边界为pre-1
while (pos < next.length) {
if (chs[pos - 1] == chs[pre]) {
// 如果pos-1位置的字符与pos-1最长前缀右边界后面一个字符相同
// 那么next[pos]的值就是next[pos-1]+1
next[pos++] = pre + 1;
pre = next[pos - 1];
} else {
if (pre <= 0) {
next[pos++] = 0;
} else {
pre = next[pre];
}
}
}
return next;
}
}