#NOIP模拟赛#排列问题（DP）

这个题，是一个DP，令人惊讶，我当时根本就没往这方面想，还是题见得少了

同学有一个DP解法，个人感觉比标解好理解得多，具体如下：

如图：


将数字1 ~ N从大到小填

定义Dp[full][half][sum]表示

已经填了full个格子（上下对应都填了， 如：上4下5）

有2 * half个格子填了一半（如：红色点的两个格子，由于这种格子必然是偶数个，所以除2）

已经填的数的总和是sum

Dp值是此时的方案数。

这题的转移有三种情况，

以上图为例，现在应该填now = 3：

1，分别填在两个蓝色格子内，并使他们无法组成一个新的full，此时有N - full - (half - 1) * 2个上下同时为空的格子，所以：

Dp[full][half][sum] += Dp[full][half - 1][sum - 2 * now] * (N - full - (half - 1) * 2) * (N - full - (half - 1) * 2 - 1) % MOD;

2，使成为一个新的full（直接填在一对对应的空格子里（蓝色）， 或者填一个在红色格子里，再填一个在蓝色格子里，half值不变，将损失1对full）：

Dp[full][half][sum] += Dp[full - 1][half][sum - now] * (half  * 2 * (N - half *2 - (full - 1)) + N - half * 2 - (full - 1));

3，使成为一个新的full（填在两个半格里（红色），将损失1对half）：

Dp[full][half][sum] += Dp[full - 2][half + 1][sum] * (half + 1) * (half + 1);

最后的答案是 Σ Dp
[0][sum]（sum >= K）

下面是标解，和上面的解法有所不同：



Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;

int N, K, L, Ans;
int Dp[55][55][55 * 55];

bool getint(int & num){
char c; int flg = 1; num = 0;
while((c = getchar()) < '0' || c > '9'){
if(c == '-') flg = -1;
if(c == -1) return 0;
}
while(c >= '0' && c <= '9'){
num = num * 10 + c - 48;
if((c = getchar()) == -1) return 0;
}
num *= flg;
return 1;
}

int P(int x){
int rt = 1;
for(int i = 2; i <= x; ++ i)
rt = 1ll * rt * i % MOD;
return rt;
}

int main(){
freopen("data1.in", "r", stdin);
//freopen("permutation.in", "r", stdin);
//freopen("permutation.out", "w", stdout);
getint(N), getint(K);
int up = N * N;
Dp[0][0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= N; ++ i){
int now = N - i + 1;
for(int full = 0; full <= i; ++ full){
int half = i - full;
for(int s = 0; s <= up; ++ s){
if(s >= now * 2 && N - full - (half - 1) * 2 > 0)
Dp[full][half][s] = (Dp[full][half][s] + 1ll*Dp[full][half-1][s-(now << 1)]*(N-full-((half-1)<<1))%MOD*(N-full-((half-1)<<1)-1)%MOD)%MOD;
if(full && s >= now)
Dp[full][half][s] = (Dp[full][half][s] + 1ll*Dp[full-1][half][s-now]*((half*(N-(half<<1)-(full-1))<<1)%MOD+N-(half<<1)-(full-1))%MOD)%MOD;
if(full >= 2)
Dp[full][half][s] = (Dp[full][half][s] + 1ll*Dp[full-2][half+1][s]*(half+1)%MOD*(half+1)%MOD)%MOD;
}
}
}
int Ans = 0;
for(int i = K; i <= up; ++ i)
Ans = (Ans + Dp
[0][i]) % MOD;
printf("%d\n", Ans);
return 0;
}