抽象代数学习笔记(9)阶数
2017-08-19 20:44
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在抽象代数中有两个概念可以被称为“阶数”:
群 G 中元素的个数称为 G 的阶数,当 G 中有无限多个元素,称 G 是无限阶的;当 G 中元素个数有限,称 G 是有限阶的。
对于群 G 的元素 a,如果有非负整数 n,使得 an=e,且 n 为使上等式成立的最小的非负整数,则说a是有限阶的,阶数为 n ,如果找不到这样的数,则说 a 是无限阶的。也有人把元素 a 阶数称为元素的周期。
为了讨论群的阶数和元素的阶数,群的阶数与其子群阶数之间的关系,需要引入陪集的概念。陪集在抽象代数中有着重要的地位,不仅是在研究阶数,在研究不变子群中也能发挥很大作用。
设 H 是群 G 的一个子群,H 在群 G 中确定关系一如下,a,b∈G,a b,当而且仅当 ab−1,称~是H在G中确定的右关系。
注意,~是一个等价关系,首先 aa−1=e∈G 说明了~的反身性。其次,(ab−1)−1=ba−1∈H,说明了~具有对称性。最后,(ab−1)(bc−1)=ac−1 ,说明了~的传递性。综上,~是一个等价关系。
对群 G 之任意非空子集 A,B,称 G 的子集
g∈G|g=ab,a∈A,b∈B
为A与B的乘积,记为AB。
当A为子群,B=b 时,记Ab=AB,并称Ab是A在G中的一个右陪集。
A=a,B为子群,则记aB=AB,并称aB为B在G中的一个左陪集。
现在来说说左右陪集和左右关系之间的联系:
设 H 是 G 的子群,~是 H 在 G 中确定的右关系,那么元素 a∈G 在等价关系~之下的等价类恰好是H的右陪集 Ha 。
按照等价类的定义,a 的等价类是 G 的子集 Sa={b∈G|b a},如果 b∈Sa ,即 b ~ a , ba−1∈H ,令 h=ba−1 ,则 b=ha∈Ha ,这说明 Sa⊆Ha ;反之若 b∈Ha,b=ha ,那么 ba−1=h∈H,b a ,从而 b∈Sa 。这说明 Ha⊆Sa 。综上, Ha=Sa 。
现在,我们可以尝试着在群 G 的一个子集 H 和 Ha 之间建立一个双射:
f(h)=ha
证明过程省略,由于 f 是一个双射,那么 H 和 Ha 阶数相同。
最后,便可以引出拉格朗日定理:
G 是个有限群.那么 G 的任意子群 H 的阶数一定整除 G 的阶数。
由于群 H 的右陪集恰好是等价关系~的等价类,那么两个陪集要么相等要么不相交。因为 G 是个有限群,那么它必然含有有限个H的右陪集。我们可以取 a1,a2,...,ak 为等价关系~下的一个完全集,则
G=Ha1∪Ha2∪...∪Hak
每个陪集的阶数都为 |H| ,故 |G|=k|H| 。
阶数的概念已经介绍完了,我们比较侧重于群的阶数与元素阶数之间的关系,不过,他们本身还有一些需要注意的地方,这里只举个例子,其余的不再赘述:
假设群 G 的元素 a,b 的阶数都是有限的,但是元素 ab 的阶数可能是无限的。例如所有二维旋转变换构成的群中,顺时针旋转3°和顺时针旋转4°的变换阶数分别是120和90,但是顺时针旋转7°的阶数是无限的。
群 G 中元素的个数称为 G 的阶数,当 G 中有无限多个元素,称 G 是无限阶的;当 G 中元素个数有限,称 G 是有限阶的。
对于群 G 的元素 a,如果有非负整数 n,使得 an=e,且 n 为使上等式成立的最小的非负整数,则说a是有限阶的,阶数为 n ,如果找不到这样的数,则说 a 是无限阶的。也有人把元素 a 阶数称为元素的周期。
为了讨论群的阶数和元素的阶数,群的阶数与其子群阶数之间的关系,需要引入陪集的概念。陪集在抽象代数中有着重要的地位,不仅是在研究阶数,在研究不变子群中也能发挥很大作用。
设 H 是群 G 的一个子群,H 在群 G 中确定关系一如下,a,b∈G,a b,当而且仅当 ab−1,称~是H在G中确定的右关系。
注意,~是一个等价关系,首先 aa−1=e∈G 说明了~的反身性。其次,(ab−1)−1=ba−1∈H,说明了~具有对称性。最后,(ab−1)(bc−1)=ac−1 ,说明了~的传递性。综上,~是一个等价关系。
对群 G 之任意非空子集 A,B,称 G 的子集
g∈G|g=ab,a∈A,b∈B
为A与B的乘积,记为AB。
当A为子群,B=b 时,记Ab=AB,并称Ab是A在G中的一个右陪集。
A=a,B为子群,则记aB=AB,并称aB为B在G中的一个左陪集。
现在来说说左右陪集和左右关系之间的联系:
设 H 是 G 的子群,~是 H 在 G 中确定的右关系,那么元素 a∈G 在等价关系~之下的等价类恰好是H的右陪集 Ha 。
按照等价类的定义,a 的等价类是 G 的子集 Sa={b∈G|b a},如果 b∈Sa ,即 b ~ a , ba−1∈H ,令 h=ba−1 ,则 b=ha∈Ha ,这说明 Sa⊆Ha ;反之若 b∈Ha,b=ha ,那么 ba−1=h∈H,b a ,从而 b∈Sa 。这说明 Ha⊆Sa 。综上, Ha=Sa 。
现在,我们可以尝试着在群 G 的一个子集 H 和 Ha 之间建立一个双射:
f(h)=ha
证明过程省略,由于 f 是一个双射,那么 H 和 Ha 阶数相同。
最后,便可以引出拉格朗日定理:
G 是个有限群.那么 G 的任意子群 H 的阶数一定整除 G 的阶数。
由于群 H 的右陪集恰好是等价关系~的等价类,那么两个陪集要么相等要么不相交。因为 G 是个有限群,那么它必然含有有限个H的右陪集。我们可以取 a1,a2,...,ak 为等价关系~下的一个完全集,则
G=Ha1∪Ha2∪...∪Hak
每个陪集的阶数都为 |H| ,故 |G|=k|H| 。
阶数的概念已经介绍完了,我们比较侧重于群的阶数与元素阶数之间的关系,不过,他们本身还有一些需要注意的地方,这里只举个例子,其余的不再赘述:
假设群 G 的元素 a,b 的阶数都是有限的,但是元素 ab 的阶数可能是无限的。例如所有二维旋转变换构成的群中,顺时针旋转3°和顺时针旋转4°的变换阶数分别是120和90,但是顺时针旋转7°的阶数是无限的。
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