逆元 【简单的知识点】

我们经常会遇到求这种问题

ans=a/b (mod p)

我们所知道的同余定理，只能够用于加减乘，唯独除法不可以用。

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p

(a * b) % p = (a%p * b%p ) % p

所以这种时候就可以用逆元了, 将除法弄成乘法，乘法就有同余定理了。

( a / b ) % p =a * inv ( b , p ) %p =( a%p * inv ( b , p )%p ) %p

逆元

定义 a*x = 1 (mod p) 这时候称x为a对p的逆元 。
解法

1）逆元一般可以用欧几里得算法来解决

前提 gcd ( a , p ) =1 . 只有两者互质才会有逆元。

代码 求inv(a,p) ;

void exgcd (LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d) {
if(b==0) {  d=a; x=1; y=0; }
else {
exgcd(b,a%b,y,x,d);
y-=x*(a/b);
}
}
LL inv(LL a,LL p){
LL d,x,y;
exgcd(a,p,x,y,d);
return d==1?(x%p+p)%p:-1;
}

2）可以用费马小定理解 inv ( a , p )

前提 gcd( a , p )==1 【两个数字只有是互质才有】 & p为素数

inv( a , p ) = power ( a , p - 2 , p ) 【此处可以用，快速幂取模来解】

代码

LL power(LL a,LL b，LL p){
LL s=1LL,base=a%p;
while(b){
if(b&1) s=s*base%p;
base=base*base%p;
b>>=1;
}
return s;
}

3 ) 如果要预处理1-n的逆元， 有个递归式子我们可以用。

inv[1] = 1;   // 求1-n对mod的逆元   [注意mod要是素数]
for(int i=2;i<N;i++){
if(i >= MOD) break;  //大于mod的时候是不存在的。
inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
}

应用

1） 可以用来求解小型的组合数（也是对最后答案取模的）。

LL k
;  LL p;
void init(){
k[0]=1;
for(int i=1;i<=10000;i++)
(k[i]=k[i-1]*i)%=p;
}
LL qkm(LL a,LL b,LL c)  {
LL s=1,base=a%c;
while(b){
if(b&1) s=s*base%c;
base=base*base%c;
b>>=1;
}
return s%c;
}
LL C(LL n,LL m,LL p){  // 因为有除法，所以这里要用费马定理
return ( ( k
*qkm( ( k[n-m]*k[m]) %p , p-2 , p ) ) %p );  //取模，两次！很关键k[n-i]*k[i]也会爆LL
}