BZOJ[1367][Baltic2004]Sequence 可并堆

题目链接http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1367

Description



Input



Output

一个整数R

Sample Input

7

9

4

8

20

14

15

18

Sample Output

13

HINT

所求的Z序列为6,7,8,13,14,15,18.

R=13

先考虑两种特殊情况：

①若t1<t2<t3<…<tn

则对于每一个zi=ti，此时最小R为0

②若t1>t2>t3>…>tn

则对于每一个zi=(t1…tn)的中位数，此时R最小，

下面是我瞎证明的过程：



对于情况②，我们对每一个zi取中位数(红色部分)，则R为这些绿色部分



如改变所取的值(如图，取较大于中位数的数)，则会发现前面的数减少了棕色部分，后面的数减小了紫色部分，发现这两部分事实上是相等的，前后的总和并没有改变，但R值却多了中间的那一部分(画圈部分)，得证，偶数情况与其类似，在此不做赘述

我们可以将原序列分割成许多单调递减的序列，这些序列所有数都取他们的中位数

但是我们要求的是上升序列而不是不下降序列，所以需要将输入的ti处理成ti−i

首先我们把ak+1作为一个新区间直接加入队尾，令wm+1=ak+1，然后不断检查队尾两个区间的中位数wm和wm+1，如果wm>wm+1，我们需要将最后两个区间合并，并找出新区间的最优解（也就是序列a中，下标在这个新区间内的各项的中位数）。重复这个合并过程，直至w1≤w2≤…≤wm时结束，然后继续处理下一个数。

代码如下：

#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#define N 1000600
using namespace std;
int size
,ch
[2],a
,root
,l
,r
,tot
,top,n;
long long ans=0ll;
int merge(int x,int y){
if(!x) return y;if(!y) return x;
if(a[x]<a[y]) swap(x,y);
ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
size[x]=size[ch[x][1]]+size[ch[x][0]]+1;
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
return x;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),a[i]-=i;//要求单调递增
for(int i=1;i<=n;i++){//root:这段区间的中位数
l[++top]=r[top]=root[top]=i;//l:这段区间包含的最左边的点,r：这段区间包含的最右边的点
tot[top]=size[i]=1;//tot:这个区间包含多少个数 size:
while(top>1&&a[root[top-1]]>a[root[top]]){
r[--top]=r[top+1]; tot[top]+=tot[top+1];
root[top]=merge(root[top],root[top+1]);//将这个点合并到上一个序列里
//下面的过程是将中位数调到堆顶(不断删除堆顶)
while(size[root[top]]*2>tot[top]+1) root[top]=merge(ch[root[top]][0],ch[root[top]][1]);
}
}
for(int i=1;i<=top;i++)
for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
ans+=(long long)abs(a[j]-a[root[i]]);
return printf("%lld",ans),0;
}

附：不同可并堆的效率比较：

从上到下：斜堆，左偏树，随机堆(19260817)

左偏树还是稳定啊(笑)