算法训练 矩阵乘方
2017-08-19 11:17
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问题描述
给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m,求A的b次方除m的余数。
其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵,这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
要计算这个问题,可以将A连乘b次,每次都对m求余,但这种方法特别慢,当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方):
若b=0,则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
若b为偶数,则A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m,即先把A乘b/2次方对m求余,然后再平方后对m求余。
若b为奇数,则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m,即先求A乘b-1次方对m求余,然后再乘A后对m求余。
这种方法速度较快,请使用这种方法计算A^b%m,其中A是一个2x2的矩阵,m不大于10000。
输入格式
输入第一行包含两个整数b, m,第二行和第三行每行两个整数,为矩阵A。
输出格式
输出两行,每行两个整数,表示A^b%m的值。
样例输入
2 2
1 1
0 1
样例输出
1 0
0 1
给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m,求A的b次方除m的余数。
其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵,这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
要计算这个问题,可以将A连乘b次,每次都对m求余,但这种方法特别慢,当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方):
若b=0,则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
若b为偶数,则A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m,即先把A乘b/2次方对m求余,然后再平方后对m求余。
若b为奇数,则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m,即先求A乘b-1次方对m求余,然后再乘A后对m求余。
这种方法速度较快,请使用这种方法计算A^b%m,其中A是一个2x2的矩阵,m不大于10000。
输入格式
输入第一行包含两个整数b, m,第二行和第三行每行两个整数,为矩阵A。
输出格式
输出两行,每行两个整数,表示A^b%m的值。
样例输入
2 2
1 1
0 1
样例输出
1 0
0 1
#include <iostream> using namespace std; void copy(int a[][2], int b[][2]) { int i, j; for(i=0; i<2; i++){ for(j=0; j<2; j++){ a[i][j] = b[i][j]; } } } void cal(int a[][2], int b[][2], int m) { int i,k,j,sum,t[2][2]; for(i=0;i<2;i++) { for(j=0;j<2;j++) { sum=0; for(k=0;k<2;k++) { sum+=a[i][k]*b[k][j]; } t[i][j]=sum%m; } } copy(a,t); } void getResult(int a[][2],int b,int m) { int i,j; if(b==0) { for(i=0;i<2;i++) { for(j=0;j<2;j++) { if(i==j) { a[i][j]=1%m; } else a[i][j]=0; } } return; } if(b%2!=0) { int t[2][2]; copy(t,a); getResult(a, b-1, m); cal(a, t, m); } else { getResult(a, b/2, m); cal(a, a, m); } } int main() { int i, j; int b, m, a[2][2]; cin>>b>>m; for(i=0;i<2;i++) { for(j=0;j<2;j++) { cin>>a[i][j]; } } getResult(a, b, m); for(i=0;i<2;i++) { for(j=0;j<2;j++) { cout<<a[i][j]<<" "; } cout<<endl; } return 0; }
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