2017年8月18日训练日记

        今天一直再看树状数组的内容，感觉还是需要进一步掌握，明天上午再抓紧看一看。感觉树状数组的很多题目都可以说是难度偏大了，树状数组无非是利用它快速的修改元素值和前缀和的效率，关于树状数组无非就是那几个函数，但是首先他有几种用法，而且与题目的结合使他在题干中模板性很弱，在题目中看到区间与和的字眼就要联想树状数组，总之抓紧多看点博客，这种吸取知识的过程其实也不错。明天下午就是比赛了，希望有个好的发挥。

        树状数组经常会将一个数组离散化，这里说两种离散化的方法：

        1.用一层循环将a数组离散化为b数组，就是将a数组从小到大依次放入b数组对应的位置

for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i].v);
a[i].id=i; //用结构体将元素与编号保存是重要的一步
}
sort(a+1,a+n+1);
b[a[1].id]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
if(a[i-1].v==a[i].v)
b[a[i].id]=a[i-1].id;
else b[a[i].id]=i;
}

         或者更直接

for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i].val);
a[i].id=i;
}
sort(a+1,a+n+1);
for(i=1;i<=n;i++)
b[a[i].id]=i;

        

for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i].val);
a[i].id=i;
}
sort(a+1,a+n+1);
b[a[1].id]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
if(a[i].val==a[i-1].val) b[a[i].val]=b[a[i-1].val];
else b[a[i].id]=i;

        还有

struct NODE
{
int v,p;
}node[M];
bool cmp1(NODE a,NODE b)
{
if(a.v==b.v)
return a.p<b.p;
return a.v<b.v;
}
bool cmp2(NODE a,NODE b)
{
return a.p<b.p;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&node[i].v);
node[i].p=i;
}
sort(node,node+n,cmp1);
for(int i=0;i<n;i++)
node[i].v=i+1;
sort(node,node+n,cmp2);
        2.运用STL的lower_bound(begin,end,value)函数，此函数功能是 返回>=value的元素的第一个位置，这段代码将a数组离散化为pos数组

for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
b[i]=a[i];
}
sort(b+1,b+n+1);
for(i=1;i<=n;i++)
{
pos[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
}

         离散化后的数组与原数组对应的大小关系不变，注意离散化后的数组用于存入树状数组，但原本的a数组并不是失去作用，有时还是要用到。

树状数组的一些简单应用：

         1.求数组中某个元素（i）左边比他小的元素的个数（cnt[i]）

for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
cnt[i]=sum(a[i]);
add(a[i],1);
}

          2.求数组的逆序数(cnt)

for(i=1;i<=n;i++)
{
cnt+=sum(n)-sum(a[i]); //当前sum(n)为元素总个数，而sum(a[i])为小于等于a[i]元素的个数，相减就是逆序数
add(a[i],1);
}

          由这两段代码可以发现，有时候我们的树状数组中并没有用来存放真正的数值，原本数组中元素的值只是变成了树状数组中的下标，所以如果元素太大，树状数组开不了那么大，而元素的个数本身又没有那么多，就有了离散化的方法。

          树状数组还有一种用法：把一个区间内的所有元素都加上一个值，查询某一个元素的值（区间更新，单点查询）。我们把支持这种操作的树状数组称为树状数组的模式二，在这种模式下，a[i]已经不再表示真实的值了，是用来辅助的数组。这时我们真正需要的是另一个假想的数组b[]，b[i] 才表示真实的元素值，也就是Sum(i)。

          比如现在我要对图1 中a[]数组中红色区域的值全部1。当然你可以用add(i)对该区间内的每一个元素都修改一次，但如果这个区间很大，那么每次修改的复杂度就高了。此时只要将该区域的第一个元素+1，最后一个元素的下一位置-1，对每个位置GetSum(i)以后的值见下图：



         数组b[]，也就是sum(i)正是我们想要的结果,这种方式不适用与求区间和