51nod 1213 二维曼哈顿距离最小生成树 树状数组

题意

二维平面上有N个坐标为整数的点，点x1 y1同点x2 y2之间的距离为：横纵坐标的差的绝对值之和，即：Abs(x1 - x2) + Abs(y1 - y2)（也称曼哈顿距离）。求这N个点所组成的完全图的最小生成树的边权之和。

n<=50000,0<=xi,yi<=1000000

分析

有个小结论就是以一个点为原点建立直角坐标系，在每45度内只会向距离该点最近的一个点连边。

证明比较繁琐，可以点这里。

然后就可以用数据结构来帮助建图了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=50005;
const int inf=(int)1e9;

int n,cnt,c
,d
,w
,f
,p
;
struct edge{int x,y,w;}e[N*10];
struct data{int x,y,id,val;}a
;

int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

int find(int x)
{
if (f[x]==x) return x;
else return f[x]=find(f[x]);
}

bool cmp(data a,data b)
{
return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y<b.y;
}

bool cmp1(edge a,edge b)
{
return a.w<b.w;
}

void ins(int x,int y,int z)
{
while (x<=n)
{
if (y<c[x]) c[x]=y,d[x]=z;
x+=x&(-x);
}
}

int query(int x)
{
int ans=inf,pos=0;
while (x)
{
if (c[x]<ans) ans=c[x],pos=d[x];
x-=x&(-x);
}
return pos;
}

int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].id=i,w[i]=a[i].x;
sort(w+1,w+n+1);
int w1=unique(w+1,w+n+1)-w-1;
for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=lower_bound(w+1,w+w1+1,a[i].x)-w;
for (int i=1;i<=n;i++) w[i]=a[i].y;
sort(w+1,w+n+1);
w1=unique(w+1,w+n+1)-w-1;
for (int dir=0;dir<4;dir++)
{
if (dir==1||dir==3) for (int i=1;i<=n;i++) swap(a[i].x,a[i].y);
else if (dir==2) for (int i=1;i<=n;i++) a[i].x=-a[i].x;
for (int i=1;i<=n;i++) a[i].val=a[i].y-a[i].x,w[i]=a[i].val;
sort(a+1,a+n+1,cmp);sort(w+1,w+n+1);
int w1=unique(w+1,w+n+1)-w-1;
for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=inf,d[i]=0;
for (int i=n;i>=1;i--)
{
a[i].val=lower_bound(w+1,w+w1+1,a[i].val)-w;
int x=query(n-a[i].val+1);
if (x) e[++cnt].x=a[i].id,e[cnt].y=a[x].id,e[cnt].w=abs(a[i].x-a[x].x)+abs(a[i].y-a[x].y);
ins(n-a[i].val+1,a[i].x+a[i].y,i);
}
}
LL ans=0;
sort(e+1,e+cnt+1,cmp1);
for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
for (int i=1;i<=cnt;i++)
{
int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
if (x!=y) f[x]=y,ans+=e[i].w;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}