开关问题 POJ 1830（高斯消元求解的个数）

题目链接：http://poj.org/problem?id=1830

题目描述：中文题，POJ上的描述是：有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（ 不计开关操作的顺序）

思路：在做另一道类似的题目时跑来先做这道更好理解的题题了。第一次做出高斯消元这类题目，这两天抽空看了网上很多高斯消元相关介绍，也算是对其有了较浅的认识，今天打算再做三道这方面的题目就睡觉。这道题给了初末时刻所有开关的状态，分别设S[i] 和 E[i] 分别为开关i的初末状态，若E[i] ^ S[i] == 1则说明开关i的状态发生了变化。设A[i][j] == 1表示开关j可以控制开关i，注意A[i][i] == 1（每个开关都可以控制自身），X[i]表示是否打开或关闭开关i。则E[i] ^ S[i]
== A[i][1] * X[1] ^ A[i][2] * X[2]  ^ ... ^ A[i]
* X
，A[i][j] * X[j]表示只有第j个开关能控制第i个开关并且对第j个开关进行状态修改时第i个开关的状态才会发生变化，所有控制i灯的灯异或就是i等最后的状态。 

这样就列如下等式(每个元素的值只有可能为0或1）:

E[1] ^ S[1]  =  A[1][1] * X[1] ^ A[1][2] * X[2]  ^ ... ^ A[1]
* X

E[2] ^ S[2]  =  A[2][1] * X[1] ^ A[2][2] * X[2]  ^ ... ^ A[2]
* X

 ......

E
^ S
 =  A
[1] * X[1] ^ A
[2] * X[2]  ^ ... ^ A

* X

即：E^S = A^X

这样就变成了求解线性方程组解的个数的问题，这样就可以用高斯消元做了。具体步骤是首先在增广矩阵中找到第一个第一列非0的行，将其与第一行交换，然后将其他行进行消元（本题就是将其他行与第一行对应元素进行异或操作），看下一列（若第一列元素全为0，则直接处理下一列）。直到将增广矩阵的倒数第二列也处理完后，如果有解，此时系数矩阵（增广矩阵最后一列）应该全为0，否则则无解。第一次做有关高斯消元的题目，大一时现代也没好好学，有些地方可能说的不好或不恰当，欢迎指正或赐教。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double eps = 1e-6;
const int  maxn = 29 + 10;
const int mod = 10;
const int dx[] = {1, -1, 0, 0};
const int dy[] = {0, 0, -1, 1};
const int Dis[] = {-1, 1, -5, 5};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k;
int s[maxn], e[maxn];
int a[maxn][maxn];//a[i][j]表示第j个开关对第i个开关的控制情况，为1则说明j控制i，为0则不控制
int Gauss(){
int i, j, r, x, y;
for(i = 1, j = 1; i <= n && j <= n; ++j){
r = i;
while(r <= n && !a[r][j]) ++r;//找到第j列第一个非零元素所在行
if(a[r][j]){//若该列存在非零元素
swap(a[i], a[r]);//将非零元素所在的行交换到当前行第i行
for(x = 1; x <= n; ++x){//除当前行第i行外，若其他n-1行中有第j列元素非零的行，利用第i行对该行进行消元（此题中即进行异或操作）
if(x != i && a[x][j]){
for(y = i; y <= n + 1; ++y) a[x][y] ^= a[i][y];
}
}
++i;//继续处理下一行
}
}
for(x = i; x <= n; ++x){//若最后增广列没有全部变成0，则说明该增广矩阵无解
if(a[x][n + 1]) return -1;
}
return 1 << (n - i + 1);//自由变量个数为n - i + 1个，解的个数就是1<<(n - i - 1)
}
int main(){
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--){
scanf("%d", &n);
memset(a, 0, sizeof a);
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &s[i]);//开关的初始状态
for(int i = 1; i <= n; ++i){
scanf("%d", &e[i]);//开关的末状态
a[i][i] = 1;//每个开关可以控制其自身
a[i][n + 1] = s[i] ^ e[i];
}
int u, v;
while(~scanf("%d%d", &u, &v) && u && v){
a[v][u] = 1;
}
int ans = Gauss();
if(ans == -1) printf("Oh,it's impossible~!!\n");
else printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

/*

2
3
0 0 0
1 1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
0 0
3
0 0 0
1 0 1
1 2
2 1
0 0

*/