bzoj 2734: [HNOI2012]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n<=100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

输入输出格式

输入格式：

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n<=20。

输出格式：

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

输入输出样例

输入样例#1：

4

输出样例#1：

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

题解:
这题很有意思,首先你得想到画出所有的倍数表,然后再发现规律......
如:
1   3    9
2   6   18
4  12  36
8   24  72
16 48 144
32 96 288

大概是这样横着是乘三,竖着乘二
这样画出来就发现题目要求的就是所选的数不能相邻......且行列都是log的所以可以直接状压dp
设f[i][j] 表示前i行,第j行状态为j   那么判断一下直接转移就是了
注意状压的要是乘三的,状态比乘二的少很多.
做到这样发现这个矩阵并没有包括所有的数字
所以还需要找到一个没出现的数继续构造矩阵并dp统计
如没出现的7
7   21 63.....
14 42 126...
继续构造即可
最后答案统计时相乘即可

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1<<12,M=100005,mod=1000000001;
int f[25]
,lim,sz
;
bool vis[M];
il int deal(int sta){
int n=0,s=sta,t=sta;
for(int i=1;i<=20;i++){
if(s>lim){
n=i-1;
break;
}
vis[s]=true;t=s;
sz[i]=0;
for(int j=1;j<=15;j++){
if(t>lim)break;
vis[t]=true;
sz[i]++;
t=(t<<1)+t;
}
s<<=1;
}
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int tot=(1<<sz[i])-1;
for(RG int j=0;j<=tot;j++){
if((j<<1)&j)continue;
int tmp=(1<<sz[i-1])-1;
f[i][j]=0;
for(RG int k=0;k<=tmp;k++){
if((k<<1)&k)continue;
if(j&k)continue;
f[i][j]+=f[i-1][k];
if(f[i][j]>=mod)f[i][j]-=mod;
}
}
}
int tot=(1<<sz
)-1,ret=0;
for(RG int j=0;j<=tot;j++){
if(j&(j<<1))continue;
ret+=f
[j];if(ret>=mod)ret-=mod;
}
return ret;
}
void work()
{
scanf("%d",&lim);
ll ans=1;
for(int i=1;i<=lim;i++){
if(!vis[i])
ans*=deal(i),ans%=mod;
}
printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
work();
return 0;
}