BZOJ[4326][NOIP2015]运输计划 二分答案+树链剖分+差分

题目链接http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4326

Description

公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。L 国有 n 个星球，还有 n−1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n−1 条航道连通了 L 国的所有星球。小 P 掌管一家物流公司， 该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。为了鼓励科技创新， L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时，小 P 的物流公司的阶段性工作就完成了。如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞， 试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

Input

第一行包括两个正整数 n,m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n 编号。接下来 n−1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai,bi 和 ti，表示第 i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。数据保证 1≤ai,bi≤n 且 0≤ti≤1000。接下来 m 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj，表示第 j 个运输计划是从 uj 号星球飞往 vj号星球。数据保证 1≤ui,vi≤n

Output

输出文件只包含一个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

6 3

1 2 3

1 6 4

3 1 7

4 3 6

3 5 5

3 6

2 5

4 5

Sample Output

11

HINT

将第 1 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,12,11，故需要花费的时间为 12。

将第 2 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：7,15,11，故需要花费的时间为 15。

将第 3 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：4,8,11，故需要花费的时间为 11。

将第 4 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,15,5，故需要花费的时间为 15。

将第 5 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,10,6，故需要花费的时间为 11。

故将第 3 条或第 5 条航道改造成虫洞均可使得完成阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为 11。

题目大意:给定一棵有边权的有根树和一些路径，你可以将一条边的权值改为0，询问所有给定路径边权和的最大值最小是多少

本题最终求的是路径权值和最大值的最小值，不难想到二分最终答案。初步想到二分最短时间，再判断是否能不能改变一条边的权值0使得所有路径权值和都小于二分值。

预处理每条路径的总权值dis[x,y]=dis[x]+dis[y]−2∗dis[LCA(x,y)]，然后统计有多少条路径在不改变权值的情况下，路径长度大于mid，则这些路径为非法路径，非法路径一定在改变一条边的权值的情况下才可能合法，发现如果二分出的解合法，则一定有一些边在所有非法路径中（换句话说，所有非法路径都有一段公共部分），所以对非法路径进行标记（可以用差分实现，dis[x−1]+=1,dis[y+1]−=1），则重合部分前缀和一定等于这样的路径的总数量(解释在下面)，根据树剖的dfs序找出这样的重合部分，贪心删除一条重合部分权值最大的边，如结果≤mid则该mid为合法解



这种情况中，非法路径一共有三条（红1绿1，红2绿2，红3绿3），差分时在每一个红点打上+1的标记，绿点打上−1的标记，发现只有蓝色这一段前缀和==3，这一段正好为三条路径重合的部分，所以在这一部分中贪心删去权值最大的边才最可能合法



一种不合法的情况

代码如下:

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define N 300020
using namespace std;
int n,m,k,x,y,z,Top,T,root,maxx,l,r,mid,ans;
int d
;
int fir
,son
,size
,fa
,dep
,seq
,pre
,top
,w
,dist
;
struct Edge{
int to,nex,k;
Edge(){}
Edge(int _to,int _nex,int _k):to(_to),nex(_nex),k(_k){}
}nex[N*2];
struct Query{
int x,y,k;
void scan(){
scanf("%d%d",&x,&y);
int xx=x,yy=y;
while(top[xx]!=top[yy]){
if(dep[top[xx]]<dep[top[yy]]) swap(xx,yy);
xx=fa[top[xx]];
}//树剖LCA
if(dep[xx]<dep[yy]) swap(xx,yy);
k=dist[x]+dist[y]-dist[yy]*2;//在输入时预处理每条路径的权值和
maxx=max(maxx,k);//二分上界
return;
}
void sign(){
int xx=x,yy=y;
while(top[xx]!=top[yy]){
if(dep[top[xx]]<dep[top[yy]]) swap(xx,yy);
++d[seq[top[xx]]];--d[seq[xx]+1];//差分
xx=fa[top[xx]];
}
if(dep[xx]<dep[yy]) swap(xx,yy);
++d[seq[yy]+1];--d[seq[xx]+1];
}
}a
;
struct seg{
int l,r,k;
int sum,maxx,minn;
}s[N*4];
void maketree(int l,int r,int k){
s[k].l=l;s[k].r=r;
if(l==r){
s[k].minn=s[k].maxx=s[k].sum=w[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
maketree(l,mid,k*2);maketree(mid+1,r,k*2+1);
s[k].sum=s[k*2].sum+s[k*2+1].sum;
s[k].maxx=max(s[k*2].maxx,s[k*2+1].maxx);
s[k].minn=min(s[k*2].minn,s[k*2+1].minn);
}//建线段树
inline void add(int x,int y,int k){
nex[++Top]=Edge(y,fir[x],k);
fir[x]=Top;
}//邻接表
void dfs1(int x,int Dep){
size[x]=1;dep[x]=Dep;
son[x]=0;
for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){
if(nex[i].to==fa[x]) continue;
w[nex[i].to]=nex[i].k;
fa[nex[i].to]=x;
dist[nex[i].to]=dist[x]+nex[i].k;
dfs1(nex[i].to,Dep+1);
if(size[nex[i].to]>size[son[x]])
son[x]=nex[i].to;
size[x]=size[x]+size[nex[i].to];
}
}//树剖1
void dfs2(int x,int t){
seq[x]=++T;pre[T]=x;
top[x]=t;
if(son[x]) dfs2(son[x],t);
for(int i=fir[x];i;i=nex[i].nex){
if(nex[i].to==son[x] || nex[i].to==fa[x]) continue;
dfs2(nex[i].to,nex[i].to);
}
}//树剖2
bool check(int k){
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(a[i].k>k){
a[i].sign();
cnt++;
}
}
int sum=0,tmp=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
sum=sum+d[i];
if(sum==cnt) tmp=max(tmp,w[pre[i]]);
}
return maxx-tmp<=k;
}//检验答案是否合法
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
dfs1(1,1);dfs2(1,1);
maketree(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
a[i].scan();
}
l=1;r=maxx;
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) {ans=mid;r=mid-1;}
else l=mid+1;
}//二分答案
printf("%d",ans);
return 0;
}