bzoj3142 [Hnoi2013]数列
2017-08-16 22:12
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Description
小T最近在学着买股票,他得到内部消息:F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数,并且由于客观上的原因,最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到:除第一天外每天的股价都比前一天高,且高出的价格(即当天的股价与前一天的股价之差)不会超过M,M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。小T忘记了这K天每天的具体股价了,他现在想知道这K天的股价有多少种可能
Input
只有一行用空格隔开的四个数:N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000,保证100%的数据M,K,P≤109,N≤1018 。
Output
仅包含一个数,表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】Sample Input
7 3 2 997Sample Output
16【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能:
{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{1,3,5}, {2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{2,4,6}, {3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{3,5,7},{4,5,6},{4,5,7},{4,6,7},{5,6,7}
正解:数学。
纯数学题。
考虑差分一下,即记$\sum_{i=1}^{k-1}del[i]=a[k]$。
那么方案数为$\sum(n-\sum_{i=1}^{k-1}del[i])$。
把式子拆开,变成$n*m^{k-1}-\sum(\sum_{i=1}^{k-1}del[i])$。
考虑后面那个式子如何解决,我们可以发现,$[1,m]$的每一个数都是互不影响的。
也就是说,$[1,m]$每一个数的总出现次数相等。
那么后面那一坨就是$(k-1)*m^{k-1}/m*\sum_{i=1}^{m}i=(k-1)*m^{k-2}*(m(m+1)/2)$。
于是问题得到解决。
#include <bits/stdc++.h> #define il inline #define RG register #define ll long long using namespace std; ll n,k,m,p; il ll qpow(RG ll a,RG ll b){ RG ll ans=1; while (b){ if (b&1) ans=ans*a%p; a=a*a%p,b>>=1; } return ans; } int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("seq.in","r",stdin); freopen("seq.out","w",stdout); #endif cin>>n>>k>>m>>p; if (k==1) cout<<n; else cout<<(n%p*qpow(m,k-1)%p-(k-1)*qpow(m,k-2)%p*((m*(m+1)>>1)%p)%p+p)%p; return 0; }
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