带权二分匹配——KM算法

上一篇中，我们讲到如果不带有权值，单纯寻找最大匹配数的话，匈牙利算法完全可以满足，可是，许多问题中，通过带权值我们可以找到最大或者最小化策略，这样的问题，我们就要用到KM算法。

先贴一道模板题：

奔小康赚大钱

传说在遥远的地方有一个非常富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革：重新分配房子。

这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。

另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).

Input

输入数据包含多组测试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。

Output

请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。

Sample Input

2

100 10

15 23

Sample Output

123

中文题，题意很明白，如果从网上直接搜，一堆增广路等若干概念总是把人弄得云里雾里的，G_lory模仿上一篇博文中提到的趣写算法写出了KM算法的通俗讲法。

看完以后是不是恍然大悟？如果还不明白也不要紧，我将结合我写的代码和上面那篇文章的思路给大家一份比较详细的注释，帮助大家进一步理解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#include <cstring>
#define maxsize 310
#define inf 0x3fffff
#define min(x,y) x>y?y:x;
#define max(x,y) x>y?x:y;

//存储权值
int map[maxsize][maxsize];

//lx相当于女生好感度，ly相当于男生好感度
int lx[maxsize],ly[maxsize];

//女、男生是否访问的标记
int visx[maxsize],visy[maxsize];

//以右侧男生为参照，需要降低的最少好感度
int slack[maxsize];

//记录男女生匹配关系
int link[maxsize];

//总数量，村子与村民数量一样
int num;

//为第x个房子找归宿
int dfs(int x)
{

//这一轮该点访问过
visx[x]=1;
int i;

for(i=1;i<=num;i++)
{

//每一轮男生只访问一次
if(visy[i]==1) continue;

//如果找到满足的边
if(visy[i]==0&&map[x][i]-lx[x]-ly[i]==0)
{

//男生访问过标记
visy[i]=1;

//类似匈牙利算法，为前面的匹配重新安排
if(link[i]==-1||dfs(link[i]))
{
link[i]=x;
return 1;
}
}

//关键来了，这一步将N四次方的复杂度将为N三次方
//对于不能满足好感度相加等于权值的点，应该在最后根据是否重新匹配成功调整期望值
//如果从头开始计算，那么要把n各点都遍历，复杂度上升
//利用这一步，在每次找到不满足边的同时计算需要最小降低的期望值，并进行更新，节省了时间
else
{
slack[i]=min(slack[i],fabs(map[x][i]-lx[x]-ly[i]));
}
}
return 0;
}

int km()
{
int i,j;
//男生好感度初始为0
memset(ly,0,sizeof(ly));

//匹配关系初始化
memset(link,-1,sizeof(link));

//因为是找女生相连边的最大值，初始化为一个极小的数
for(i=1;i<=num;i++)
{
lx[i]=-inf;
}
for(i=1;i<=num;i++)
{
for(j=1;j<=num;j++)
{
//为女生初始化好感度
lx[i]=max(lx[i],map[i][j]);
}
}

//为房子找主人，权值就是价格，因为出价按照房子的顺序，所以房子在左列，相当于上文的女生
for(i=1;i<=num;i++)
{
//每次匹配，都要先把最小降低值初始化为一个极大的数，方便不断缩小，我就因为忘了每次初始化，改了好久
for(j=1;j<=num;j++)
slack[j]=inf;

//直到当前找到一个可行方案才会寻找下一个房子的归宿
//另外，由于左边期望值降低，右边升高，所以后续找匹配找到的机会会上升，因为条件更容易达到
while(1)
{
//访问归零
memset(visx,0,sizeof(visx));
memset(visy,0,sizeof(visy));

//如果找到可行方案，跳出循环，继续下一个房子

4000
if(dfs(i)) break;

//否则
int m=inf;
//先找到所有降低值中的最小值
for(j=1;j<=num;j++)
{
if(!visy[j])
m=min(m,slack[j]);
}

//按照上文，左侧访问点降低，右侧访问点升高，右侧未访问点期望降低值减小
for(j=1;j<=num;j++)
{
if(visx[j]) lx[j]-=m;
if(visy[j]) ly[j]+=m;
else slack[j]-=m;
}
}
}
int res=0;

//只累加所有匹配边的权值
for(i=1;i<=num;i++)
{
if(link[i]!=-1)
res+=map[link[i]][i];
}
return res;
}
int main()
{
while(cin>>num)
{
memset(map,0,sizeof(map));
int i,j;
for(i=1;i<=num;i++)
{
for(j=1;j<=num;j++)
{
scanf("%d",&map[i][j]);
}
}
printf("%d\n",km());
}
return 0;
}

本人也是算法萌新，如果有问题，欢迎大家批评指正，或者和我讨论。